Обсуждение:PSRS-сортировка — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Удалено содержимое страницы)
Строка 1: Строка 1:
 +
<b>Алгоритм Борувки</b> (англ. ''Borůvka's algorithm'') — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. ''minimum spanning tree, MST'') во взвешенном неориентированном связном графе.
 +
Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.
  
 +
==Описание алгоритма==
 +
# Построим граф <tex>T</tex>. Изначально <tex>T</tex> содержит все вершины из <tex>G</tex> и не содержит ребер (каждая вершина в графе <tex>T</tex> {{---}} отдельная компонента связности).
 +
# Будем добавлять в <tex>T</tex> ребра следующим образом, пока <tex>T</tex> не является деревом
 +
#* Для каждой компоненты связности находим минимальное по весу ребро, которое связывает эту компоненту с другой. 
 +
#* Добавим в <tex>T</tex> все найденные рёбра.
 +
# Получившийся граф <tex>T</tex> является минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.
 +
 +
Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В <tex>T</tex> могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.
 +
 +
Доказательство будем проводить, считая веса всех ребер различными.
 +
 +
==Доказательство корректности==
 +
{{Лемма
 +
|id=lemma1
 +
|statement=Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф <tex> G = (V, E)  </tex> с инъективной весовой функцией <tex>w : E \to \mathbb{R}</tex> .
 +
Тогда после первой итерации главного цикла алгоритма Борувки получившийся подграф можно достроить до ''MST''.
 +
|proof=Предположим обратное: пусть любое ''MST'' графа <tex>G</tex> не содержит <tex>T</tex>. Рассмотрим какое-нибудь ''MST''. Тогда существует ребро <tex>x</tex> из <tex>T</tex> такое что <tex>x</tex> не принадлежит ''MST''. Добавив ребро <tex>x</tex> в ''MST'', получаем цикл в котором <tex>x</tex> не максимально, т.к оно было минимальным. Тогда, исходя из [[Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева|критерия Тарьяна]], получаем противоречие.
 +
}}
 +
 +
 +
{{Теорема
 +
|id=th1.
 +
|statement=Алгоритм Борувки строит ''MST''.
 +
|proof=Очевидно, что алгоритм Борувки строит дерево.Будем доказывать что после каждой итерации главного цикла в алгоритме Борувки текущий подграф <tex>T</tex> можно достроить до ''MST''.
 +
 +
Докажем это по индукции.
 +
 +
'''База. '''  <tex>n = 1</tex>([[#lemma1|Лемма]]).
 +
 +
'''Переход. '''  Пусть лес <tex>T</tex>, получившийся после <tex>n</tex> итераций алгоритма, можно достроить до ''MST''. Докажем, что после <tex>n+1</tex> итерации получившийся лес <tex>T'</tex> можно достроить до ''MST''. Предположим обратное: <tex>T'</tex> нельзя достроить до ''MST''. Тогда существует <tex>F</tex> = ''MST'' графа <tex>G</tex>, содержащее <tex>T</tex>  и не содержащее <tex>T'</tex>. Тогда рассмотрим цикл, получающийся добавлением в <tex>F</tex> какого-нибудь ребра <tex>x</tex> из <tex>T' {{---}} T</tex>. На этом цикле имеется ребро, большее по весу чем ребро <tex>x</tex>, иначе компонента для которой <tex>x</tex> является минимальным ребром ни с кем больше ни связана. Исходя из  [[Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева|критерия Тарьяна]], получаем противоречие.
 +
 +
'''Получаем. '''  <tex>T'</tex> можно достроить до ''MST''. Следовательно предположение индукции верно.
 +
 +
}}
 +
 +
==Реализация==
 +
У вершины есть поле comp — компонента связности, которой принадлежит эта вершина.
 +
 +
{| width = 100%
 +
|-
 +
|
 +
  <font color=green>// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф</font>
 +
  <font color=green>// <tex>w</tex> {{---}} весовая функция</font>
 +
  '''function''' <tex>\mathtt{burovkaMST}():</tex>
 +
      '''while''' <tex>T\mathtt{.size} < n - 1</tex>                                 
 +
            '''for''' <tex>k \in </tex> Component                                // Component — множество компонент связности в T
 +
                <tex>w(\mathtt{minEdge}[k])=\infty</tex>                      // для каждой компоненты связности вес минимального ребра = Inf
 +
            <tex>\mathtt{findComp(}T\mathtt{)}</tex>                                      // разбиваеv граф T на компоненты связности обычным dfs-ом
 +
            '''for''' <tex>\mathtt{(u,v)} \in  E </tex>
 +
                '''if''' <tex>\mathtt{u.comp} \neq \mathtt{v.comp}</tex>
 +
                    '''if''' <tex>w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}]) < w(u,v)</tex>
 +
                        <tex>\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}] = (u,v)</tex>
 +
                    '''if''' <tex>w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}]) < w(u,v)</tex>
 +
                        <tex>\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}] = (u,v)</tex>
 +
            '''for''' <tex>k \in </tex> Component                               
 +
                <tex>T\mathtt{.addEdge}(\mathtt{minEdge}[k])</tex>                    // добавляем ребро если его не было в T
 +
      '''return''' <tex>T</tex>   
 +
|}
 +
 +
==Пример==
 +
{| class = "wikitable"
 +
! Изображение !! Множество рёбер !! Описание
 +
|-
 +
|[[Файл:Mst_bor_1.png|200px]]
 +
|
 +
|Переберём все вершины и отметим для каждой вершины инцидентное ей ребро минимального веса.
 +
{| width="100%"
 +
|Вершина || '''a''' || '''b''' || '''c''' || '''d''' || '''e'''
 +
|-
 +
|Ребро минимального веса || '''ae''' || '''ab''' || '''cd''' || '''cd''' || '''ae'''
 +
|}
 +
|-
 +
|[[Файл:Mst_bor_2.png|200px]]
 +
|
 +
|Объединим каждую полученную компоненту связности в одну вершину.<br/>
 +
Полученные вершины ''abe'' и ''cd'' соединяют рёбра '''bc''', '''ac''', '''ec''' и '''ed'''.<br/>
 +
Выберем среди них ребро с минимальным весом {{---}} '''ac''' и положим его между полученными вершинами.<br/>
 +
|-
 +
|[[Файл:Mst_bor_3.png|200px]]<br/>[[Файл:Mst_bor_4.png|200px]]
 +
|<center>'''ae''' '''ab''' '''cd'''</center>
 +
|Повторим алгоритм борувки на полученном графе, в результате чего он будет сжат в одну вершину.
 +
|-
 +
|<center>[[Файл:Mst_bor_5.png|80px]]</center>
 +
|<center>'''ae''' '''ab''' '''cd''' '''ac'''</center>
 +
|Граф сжат в одну вершину.<br/>Теперь нужно заменить множество рёбер заданного графа на полученное в алгоритме.
 +
|-
 +
|[[Файл:Mst_bor_6.png|200px]]
 +
|
 +
|Полученный граф {{---}} минимальное остовное дерево заданного графа.
 +
|}
 +
 +
==Асимптотика==
 +
Время работы внутри главного цикла будет равно <tex>O(E + V)</tex>.
 +
 +
Количество итераций, которое выполняется главным циклом равно <tex>O(\log{V})</tex> так как на каждой итерации количество компонент связности уменьшается в 2 раза (изначально количество компонент равно <tex>|V|</tex>, в итоге должна стать одна компонента).
 +
 +
Общее время работы алгоритма получается <tex>O(E\log{V})</tex>.
 +
 +
==См. также==
 +
* [[Алгоритм Прима]]
 +
* [[Алгоритм Краскала]]
 +
* [[Алгоритм двух китайцев]]
 +
 +
== Ссылки ==
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-spanning-trees/mst-2006 Визуализатор алгоритма]
 +
* [http://www.csee.wvu.edu/~ksmani/courses/fa01/random/lecnotes/lecture11.pdf Minimum Spanning Trees]
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%91%D0%BE%D1%80%D1%83%D0%B2%D0%BA%D0%B8 Алгоритм Борувки— Википедия]
 +
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория: Остовные деревья ]]

Версия 10:53, 3 декабря 2014

Алгоритм Борувки (англ. Borůvka's algorithm) — алгоритм поиска минимального остовного дерева (англ. minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе. Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.

Описание алгоритма

  1. Построим граф [math]T[/math]. Изначально [math]T[/math] содержит все вершины из [math]G[/math] и не содержит ребер (каждая вершина в графе [math]T[/math] — отдельная компонента связности).
  2. Будем добавлять в [math]T[/math] ребра следующим образом, пока [math]T[/math] не является деревом
    • Для каждой компоненты связности находим минимальное по весу ребро, которое связывает эту компоненту с другой.
    • Добавим в [math]T[/math] все найденные рёбра.
  3. Получившийся граф [math]T[/math] является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math].

Данный алгоритм может работать неправильно, если в графе есть ребра равные по весу. Например, полный граф из трех вершин, вес каждого ребра равен один. В [math]T[/math] могут быть добавлены все три ребра. Избежать эту проблему можно, выбирая в первом пункте среди ребер, равных по весу, ребро с наименьшим номером.

Доказательство будем проводить, считая веса всех ребер различными.

Доказательство корректности

Лемма:
Рассмотрим связный неориентированный взвешенный граф [math] G = (V, E) [/math] с инъективной весовой функцией [math]w : E \to \mathbb{R}[/math] . Тогда после первой итерации главного цикла алгоритма Борувки получившийся подграф можно достроить до MST.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Предположим обратное: пусть любое MST графа [math]G[/math] не содержит [math]T[/math]. Рассмотрим какое-нибудь MST. Тогда существует ребро [math]x[/math] из [math]T[/math] такое что [math]x[/math] не принадлежит MST. Добавив ребро [math]x[/math] в MST, получаем цикл в котором [math]x[/math] не максимально, т.к оно было минимальным. Тогда, исходя из критерия Тарьяна, получаем противоречие.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Алгоритм Борувки строит MST.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что алгоритм Борувки строит дерево.Будем доказывать что после каждой итерации главного цикла в алгоритме Борувки текущий подграф [math]T[/math] можно достроить до MST.

Докажем это по индукции.

База. [math]n = 1[/math](Лемма).

Переход. Пусть лес [math]T[/math], получившийся после [math]n[/math] итераций алгоритма, можно достроить до MST. Докажем, что после [math]n+1[/math] итерации получившийся лес [math]T'[/math] можно достроить до MST. Предположим обратное: [math]T'[/math] нельзя достроить до MST. Тогда существует [math]F[/math] = MST графа [math]G[/math], содержащее [math]T[/math] и не содержащее [math]T'[/math]. Тогда рассмотрим цикл, получающийся добавлением в [math]F[/math] какого-нибудь ребра [math]x[/math] из [math]T' {{---}} T[/math]. На этом цикле имеется ребро, большее по весу чем ребро [math]x[/math], иначе компонента для которой [math]x[/math] является минимальным ребром ни с кем больше ни связана. Исходя из критерия Тарьяна, получаем противоречие.

Получаем. [math]T'[/math] можно достроить до MST. Следовательно предположение индукции верно.
[math]\triangleleft[/math]

Реализация

У вершины есть поле comp — компонента связности, которой принадлежит эта вершина.

  // [math]G[/math] — исходный граф
  // [math]w[/math] — весовая функция
  function [math]\mathtt{burovkaMST}():[/math]
      while [math]T\mathtt{.size} \lt  n - 1[/math]                                   
           for [math]k \in [/math] Component                                 // Component — множество компонент связности в T
               [math]w(\mathtt{minEdge}[k])=\infty[/math]                      // для каждой компоненты связности вес минимального ребра = Inf
           [math]\mathtt{findComp(}T\mathtt{)}[/math]                                      // разбиваеv граф T на компоненты связности обычным dfs-ом
           for [math]\mathtt{(u,v)} \in  E [/math]
               if [math]\mathtt{u.comp} \neq \mathtt{v.comp}[/math]
                   if [math]w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}]) \lt  w(u,v)[/math]
                       [math]\mathtt{minEdge}[\mathtt{u.comp}] = (u,v)[/math]
                   if [math]w(\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}]) \lt  w(u,v)[/math]
                       [math]\mathtt{minEdge}[\mathtt{v.comp}] = (u,v)[/math]
           for [math]k \in [/math] Component                                 
               [math]T\mathtt{.addEdge}(\mathtt{minEdge}[k])[/math]                     // добавляем ребро если его не было в T
      return [math]T[/math]     

Пример

Изображение Множество рёбер Описание
Mst bor 1.png Переберём все вершины и отметим для каждой вершины инцидентное ей ребро минимального веса.
Вершина a b c d e
Ребро минимального веса ae ab cd cd ae
Mst bor 2.png Объединим каждую полученную компоненту связности в одну вершину.

Полученные вершины abe и cd соединяют рёбра bc, ac, ec и ed.
Выберем среди них ребро с минимальным весом — ac и положим его между полученными вершинами.

Mst bor 3.png
Mst bor 4.png
ae ab cd
Повторим алгоритм борувки на полученном графе, в результате чего он будет сжат в одну вершину.
Mst bor 5.png
ae ab cd ac
Граф сжат в одну вершину.
Теперь нужно заменить множество рёбер заданного графа на полученное в алгоритме.
Mst bor 6.png Полученный граф — минимальное остовное дерево заданного графа.

Асимптотика

Время работы внутри главного цикла будет равно [math]O(E + V)[/math].

Количество итераций, которое выполняется главным циклом равно [math]O(\log{V})[/math] так как на каждой итерации количество компонент связности уменьшается в 2 раза (изначально количество компонент равно [math]|V|[/math], в итоге должна стать одна компонента).

Общее время работы алгоритма получается [math]O(E\log{V})[/math].

См. также

Ссылки