97
правок
Изменения
м
поправлено форматирование и добавлен интервики
{{Определение
|definition=Пусть дан фиксированный граф <tex>G</tex> и фиксированное число красок <tex>x</tex>. Количество способов правильной <tex>x</tex> — [[Раскраска графа|раскраски графа ]] <tex>G</tex> называется '''хроматическим многочленом''' ('''chromatic polynomial'''). Обозначение: <tex>P(G,x)</tex>.
}}
== Примеры хроматических многочленов ==
=== Хроматический многочлен полного графа ===
<tex>P(K_{n},x)=x(x-1)...(x-n+1)=x^{\underline{n}}</tex>, так как первую вершину полного графа <tex>K_{n}</tex> можно окрасить в любой из <tex>x</tex> цветов, вторую — в любой из оставшихся <tex>x-1</tex> цветов и т. д. Очевидно, что если <tex>x</tex> меньше <tex>n</tex>, то и многочлен равен <tex>0</tex>, так как один из его множителей <tex>0</tex>.<br />
=== Хроматический многочлен нуль-графа ===
{{Определение
|definition='''Нуль-граф''' (пустой граф, вполне несвязный граф, null graph, empty graph, edgeless graph) — регулярный граф степени 0, т.е. граф без рёбер.}}
<tex>P(O_{n},x)=x^{n}</tex>, так как каждую из <tex>n</tex> вершин нулевого графа <tex>O_{n}</tex> можно независимо окрасить в любой из <tex>x</tex> цветов.<br />
'''Примечание:''' Нулевой граф <tex>O_{n}</tex> также можно обозначать <tex>\overline{K_{n}}</tex> (дополнительный граф для полного графа <tex>K_{n}</tex>).
Граф <tex>G</tex> с <tex>n</tex> вершинами является деревом тогда и только тогда, когда <tex>P(G,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>.
|proof=
Сначала покажем, что хроматический многочлен любого дерева <tex>T</tex> с <tex>n</tex> вершинами есть <tex>x(x-1)^{n-1}</tex>.<br />Доказательство индукцией по числу <tex>n</tex>. Для <tex>n=1</tex> и <tex>n=2</tex> результат очевиден. Предположим, что <tex>P(T',x)=x(x-1)^{n-2}</tex> для любого дерева <tex>T'</tex> с количеством вершин равным <tex>n-1</tex>. Пусть <tex>uv</tex> — ребро дерева <tex>T</tex>, такое что <tex>v</tex> является висячей вершиной. Хроматический многочлен дерева <tex>T</tex> без ребра <tex>uv</tex> равен <tex>P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-2}</tex> по нашему предположению. Вершину <tex>v</tex> можно окрасить <tex>x-1</tex> способом, так как её цвет должен только лишь отличаться от цвета вершины <tex>u</tex>. Итого: <tex>P(T,x)=(x-1)P(T/uv,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>.<br /><br />Обратно, пусть <tex>G</tex> — граф, у которого <tex>P(G,x)=x(x-1)^{n-1}</tex>. Тогда верны два следующих утверждения:<br /ol>1. <li>Граф <tex>G</tex> связен, потому что если было бы две компоненты связности (или больше), то <tex>P(G,x)</tex> делился бы на <tex>x^2</tex> без остатка.<br /></li>2. <li>В графе <tex>G</tex> количество рёбер равно <tex>n-1</tex>, так как по одной из теорем о коэффициентах хроматического многочлена ([[Хроматический многочлен#Коэффициенты хроматического многочлена|Коэффициенты хроматического многочлена]], теорема 4), количество рёбер в графе соответствует коэффициенту при <tex>x^{n-1}</tex>, взятому со знаком минус. В нашем случае, этот коэффициент удобно искать, используя бином Ньютона:<br /><tex>{P(G,x)=x(x-1)^{n-1}=x\left(x^{n-1}-{n-1 \choose 1}x^{n-2}+{n-1 \choose 2}x^{n-3}-...+(-1)^{n-1}\right)=x^{n}-(n-1)x^{n-1}+...+(-1)^{n-1}x}</tex><br /> </li></ol>
Из этих двух утверждений (связность и <tex>n-1</tex> ребро) следует, что граф <tex>G</tex> является деревом (см. [[Дерево, эквивалентные определения]], утверждения 1 и 3).
}}
