Редактирование: Обсуждение участника:MetaMockery
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] | + | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] |
− | |||
==Определения== | ==Определения== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | ''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством. | + | ''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством. |
}} | }} | ||
Строка 21: | Строка 20: | ||
<tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex> | <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex> | ||
+ | |||
+ | Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств. | ||
==== Описание ==== | ==== Описание ==== | ||
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. | Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. | ||
− | <tex> A = \{a | + | <tex> A = \{a: P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>. |
== Отношения между множествами == | == Отношения между множествами == | ||
Строка 31: | Строка 32: | ||
Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения. | Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения. | ||
− | |||
* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> : | * <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> : | ||
*: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex> | *: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex> | ||
Строка 37: | Строка 37: | ||
* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>: | * <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>: | ||
*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex> | *: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex> | ||
+ | |||
+ | * <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга: | ||
+ | *: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex> | ||
* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему: | * <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему: | ||
*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex> | *: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов: | * <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов: | ||
*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex> | *: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Операции над множествами == | == Операции над множествами == | ||
Строка 97: | Строка 82: | ||
Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>. | Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>. | ||
− | Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, <tex> | + | Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. |
В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение. | В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение. | ||
Строка 103: | Строка 88: | ||
Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex> | Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex> | ||
− | Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда <tex> | + | Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\alpha</tex> <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex> |
Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение. | Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение. | ||
}} | }} | ||
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства | Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства | ||
− | :<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \ | + | :<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \implies (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex> |
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству. | Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству. |