Просмотр исходного текста страницы Обсуждение участника:MetaMockery

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Определения==

{{Определение
|definition=
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.
}}

{{Определение
|definition=
Объекты, из которых состоит множество, называют ''элементами'' этого множества. Если <tex>a</tex> {{---}} элемент множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \in A</tex> («<tex>a</tex> принадлежит <tex>A</tex>»). Если <tex>a</tex> не является элементом множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \notin A</tex> («<tex>a</tex> не принадлежит <tex>A</tex>»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.
}}

==Способы задания множеств==

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

==== Перечисление ====
Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.
  
<tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>

Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

==== Описание ====
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

<tex> A = \{a: P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>.

== Отношения между множествами ==

Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.

* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> : 
*: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex>

* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:
*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>

* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:
*: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>

* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:
*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex>

* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:
*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>

== Операции над множествами ==

==== Бинарные операции над множествами ====

* Пересечение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. 
*: <tex>{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}</tex>

* Объединение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. 
*: <tex>{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}</tex>

* Разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. 
*: <tex>{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}</tex>

* Симметрическая разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. 
*: <tex> {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B  = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }</tex>

==== Унарные операции над множествами ====

* Дополнение определяется следующим образом:
*: <tex>{\displaystyle {{\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}}=U\setminus A}</tex>.

== Теорема де Моргана ==

{{Теорема
|about=
де Моргана
|statement= 
<tex>\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>
|proof=
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.
Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).

Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>.

Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.
В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.


Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>

Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\alpha</tex> <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>
Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.
}}

Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \implies (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.