Изменения

==Задание Способы задания множеств==

1) Перечислением элементовСуществуют два основных способа задания множеств: <tex> A = \{a_1, a_2 перечисление и описание..., a_n, ...\} </tex>

2) Заданием определенного свойства обьектов: ==== Перечисление ====Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. <tex> A = \{a: Pa_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex> , где P {{---}} определенное свойство обьекта а

# ==== Описание ====Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. <tex> A = \{a: P\subset } </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>. == Отношения между множествами == Два множества <tex>A</tex> и <tex>B </tex> (могут вступать друг с другом в различные отношения. ==== Включение ====* <tex>A является подмножеством </tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент из А множества <tex>A</tex> принадлежит также принадлежит В (и множеству <tex>B</tex> : *: <tex> \displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall x: x a\in A \Rightarrow x \colon \ a\in B </tex>));# * <tex> A \cap </tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B </tex> (Пересечение множеств А и Ввключено в <tex>A</tex>:*: <tex> (x {\in displaystyle A) \wedge (x supseteq B\in Leftrightarrow B) \subseteq A}</tex>);# * <tex> A \cup </tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B </tex> (Объединение множеств А и В, но не равно ему:*: <tex> {\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (x A\in Asubseteq B) \vee land (x A\in neq B) }</tex>);# ==== Равенство ====* <tex>A</tex> равно <tex> B \backslash </tex>, если <tex>A </tex> (Разность множестви <tex>B</tex> включены друг в друга:*: <tex> {\displaystyle A=B\Leftrightarrow (x A\in subseteq B) \wedge land (x B\notin subseteq A) }</tex>;# ==== Общие элементы ====* <tex>A</tex> и <tex> \varnothing B</tex> {{---}} пустое множествоне пересекаются, если у них нет общих элементов:#* : <tex> A \cup \varnothing = A </tex>#* и <tex>B</tex> не пересекаются <tex> {\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \cap \varnothing = colon a\varnothing notin B}</tex>#== Операции над множествами == ==== Бинарные операции над множествами ==== * Пересечение <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex>и <tex>B</tex>. # *: <tex> {\bigcupdisplaystyle A\cap B =\limits_{x\mid x\alphain A\land x\in WB\} A_\alpha}</tex> * Объединение <tex>A</tex> и <tex>B</tex> {{---}} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:#* : <tex> {\bigcupdisplaystyle A\cup B =\limits_{j x\mid x\in N} A_j = A_1 A\lor x\cup A_2 in B\cup }}</tex> ...#* Разность <tex> \bigcup\limits_{0 A< x /tex> и < 1} A_x tex>B</tex>. #* : <tex> {\displaystyle A\setminus B =A\cap {\bigcupoverline {B}}=\limits_{x\alpha mid x\in WA\land x\notin B\} A_{\alpha} </tex>,  * Симметрическая разность <tex>A</tex> и так далее.<tex>B</tex>.# *: <tex> {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B = (A \cup B ) \cup C ... setminus (A \subseteq U cap B) }</tex> {{---}} &laquo;множество всего&raquo;, &laquo;универсальное множество&raquo;;# ==== Унарные операции над множествами ==== * Дополнение определяется следующим образом:*: <tex>{\displaystyle {{\overline{A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}} = U </tex> \ <tex> setminus A }</tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.

<tex>\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>

# Сначала докажем, что <tex>\ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>. #* Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_1nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_1alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.#* В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.#  Теперь докажем, что <tex>\ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>#* Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\forall \alpha</tex> <tex>: \ x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>\Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>\Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>#* Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.

:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</tex> следует равенство:<tex>\Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>.