69
правок
Изменения
→Различные свойства функции Эйлера
|proof =
:<math>a = p_1^{\alpha_1} \cdot\ldots\cdot p_{r_a}^{\alpha_{r_a}},</math>
:<math>b = p_1^{\beta_1} \cdot\ldots\cdot p_{r_b}^{\beta_{r_b}}</math>
При этом, так как <math>a\,|\,b</math>, то <math>r_a \leq r_b</math>, а также <math>\forall i \in [1\, ;\, r_a] \ \alpha_i \leq \beta_i</math>
<math></math>
Значит <tex>\displaystyle\frac{\varphi(b)}{\varphi(a)}</tex><tex>\displaystyle = \frac{\displaystyle\prod_{i = 1}^{r_b}p_i^{\beta_i - 1}(p_i - 1)}{\displaystyle\prod_{i = 1}^{r_a}p_i^{\alpha_i - 1}(p_i - 1)} = \displaystyle(\prod_{i = 1}^{r_a}p_i^{\beta_i - \alpha_i}) \cdot \displaystyle(\prod_{i = r_a + 1}^{r_b}p_i^{\beta_i - 1}(p_i - 1))</tex>, а значит <math>\varphi(a)\,|\, \varphi(b)</math>, что и требовалось доказать.
}}
{{Теорема
