Обсуждение участника:Mishenkoil — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Добавлены задачи и источники)
(Применение симметричной версии локальной леммы)
 
(не показано 6 промежуточных версий 2 участников)
Строка 9: Строка 9:
 
, j \notin M(i)</tex>. Это означает, что для любого события <tex>B</tex>, выражаемого через множество событий <tex>\{ A_j, j \notin M(i) \}</tex>, события <tex>A_i</tex> и <tex>B</tex> независимы. Через <tex>\bar{A}</tex> будем обозначать дополнение события <tex>A</tex>. <br>
 
, j \notin M(i)</tex>. Это означает, что для любого события <tex>B</tex>, выражаемого через множество событий <tex>\{ A_j, j \notin M(i) \}</tex>, события <tex>A_i</tex> и <tex>B</tex> независимы. Через <tex>\bar{A}</tex> будем обозначать дополнение события <tex>A</tex>. <br>
 
'''Формулировка теоремы:'''<br>
 
'''Формулировка теоремы:'''<br>
Предположим, что нашлись такие числа <tex>x_i \in (0, 1)</tex>, что для всех <tex>i</tex> выполняется неравенство <tex>P(A_i) \leq x_i\prod_{j \in M(i)}(1-x_j)</tex>. Тогда <tex>P(\bigcap \bar{A_i}) \geq \prod(1-x_i)</tex> - в частности, с положительной вероятностью ни одно из событий <tex>A_i</tex> не происходит
+
Предположим, что нашлись такие числа <tex>x_i \in (0, 1)</tex>, что для всех <tex>i</tex> выполняется неравенство <tex>P(A_i) \leq x_i\prod_{j \in M(i)}(1-x_j)</tex>. Тогда <tex>P(\bigcap \bar{A_i}) \geq \prod(1-x_i)</tex>, что значит, что с положительной вероятностью ни одного из событий <tex>A_i</tex> не происходит.
 
|proof= Докажем более сильное утверждение: если <tex>I = I_1 \sqcup I_2</tex>, где $I_1, I_2$ - множества
 
|proof= Докажем более сильное утверждение: если <tex>I = I_1 \sqcup I_2</tex>, где $I_1, I_2$ - множества
 
индексов, то  
 
индексов, то  
Строка 51: Строка 51:
 
</tex><br>
 
</tex><br>
 
Иногда используется именно такая версия локальной леммы. <br>
 
Иногда используется именно такая версия локальной леммы. <br>
В случае, когда оценки на вероятности всех событий совпадают, получаем следующее утверждение.
+
В случае, когда оценки на вероятности всех событий совпадают, из леммы можно получить следующее утверждение:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=thLocalLovas  
 
|id=thLocalLovas  
 
|about=Симметричная версия локальной леммы
 
|about=Симметричная версия локальной леммы
|statement=Предположим, что <tex>e \cdot p \cdot (d + 1) \leq 1,</tex> каждое событие $A_i$ происходит с вероятностью не больше, чем $p$ и <tex>|M(i)| \leq d</tex> для всех $i$. Тогда с положительной вероятностью ни одно событие $A_i$ не происходит.
+
|statement=Предположим, что <tex>e \cdot p \cdot (d + 1) \leq 1,</tex> каждое событие $A_i$ происходит с вероятностью не больше, чем $p$ и <tex>|M(i)| \leq d</tex> для всех $i$. Тогда с положительной вероятностью ни одного события $A_i$ не происходит.
|proof=Выберем <tex>x_i = x = 1 / (d + 1)</tex>. Тогда <tex>(1 − x)^d \geq 1 / e</tex> - это следует, например, из определения числа $e$. Следовательно <tex>p \leq x(1 − x)^d</tex>, так что выполняются условия локальной леммы.
+
|proof=Выберем <tex>x_i = x = 1 / (d + 1)</tex>. Тогда <tex>(1 − x)^d \geq 1 / e</tex>, что следует из определения числа $e$. Следовательно, <tex>p \leq x(1 − x)^d</tex>, так что выполняются условия локальной леммы.
 
}}
 
}}
 
==Применение локальной леммы==
 
 
{{Задача
 
|definition=пукпук
 
}}
 
 
'''Доказательство:'''<br>
 
пукпук
 
  
 
==Применение симметричной версии локальной леммы==
 
==Применение симметричной версии локальной леммы==
  
 
{{Задача
 
{{Задача
|definition=Пусть $G$ - граф, степени всех вершин которого не больше $d$, $P_i$ - непересекающиеся подмножества множества вершин графа $G$ такие, что <tex>|P_i| > 2e \cdot d</tex>. Тогда можно выбрать в каждом $P_i$ по вершине так, что никакие две соединенные ребром вершины не выбраны.
+
|definition=Пусть $G$ - граф, степени всех вершин которого не больше $d$, $P_i$ - непересекающиеся подмножества множества вершин графа $G$ такие, что <tex>|P_i| > 2e \cdot d</tex>. Тогда можно выбрать в каждом $P_i$ по вершине так, что никакие две соединенные ребром вершины не будут выбраны.
 
}}
 
}}
  
'''Доказательство:'''<br>
+
'''Решение:'''<br>
Уменьшим при необходимости некоторые $P_i$ так, чтобы для всякого $i$ было <tex>|P_i| = k := [2ed] + 1</tex>. Будем выбирать вершины <tex>x_i \in P_i</tex> случайно и независимо. Каждому ребру <tex>(u,v)</tex> графа $G$ сопоставим событие $A_{(u, v)}$: оба конца $u$, $v$ этого ребра выбраны. Очевидно, что вероятность каждого такого события не больше, чем $1/k^2$. В случае, если концы ребра принадлежат одному и тому же $P_i$ или один из них не принадлежит ни одному $P_i$, вероятность равна
+
Уменьшим при необходимости некоторые $P_i$ так, чтобы для всех $i$ выполнялось <tex>|P_i| = k</tex>, где <tex>k = 2ed + 1</tex>. Будем выбирать вершины <tex>x_i \in P_i</tex> случайно и независимо. Каждому ребру <tex>(u,v)</tex> графа $G$ сопоставим событие $A_{(u, v)}$, обозначающее, что оба конца $u$, $v$ этого ребра выбраны. Вероятность каждого такого события не больше, чем $1/k^2$. В случае, если концы ребра принадлежат одному и тому же $P_i$ или один из них не принадлежит ни одному $P_i$, вероятность такого события равна
$0$ и такие события мы далее не рассматриваем. Для ребра $(u, v)$, для которого, скажем <tex>u \in P_1, v \in P_2</tex>, рассмотрим все ребра, выходящие из вершин множеств $P_1$ и $P_2$. Всего будет не более,
+
$0$ и такие $A_{(u, v)}$ мы далее не рассматриваем. Для ребра $(u, v)$, для которого, скажем <tex>u \in P_1, v \in P_2</tex>, рассмотрим все ребра, выходящие из вершин множеств $P_1$ и $P_2$. Таких ребер, не считая ребра $(u, v)$, будет не более,
чем $2kd - 2$ таких ребер ''(не считая ребра $(u, v)$)''. Заметим, что событие $A_{(u, v)}$ не зависит от всех других событий типа <tex>A_{(u', v')}</tex>, где <tex>(u', v')</tex> - ребро, соединяющее вершины множеств, отличных от $P_1$ и $P_2$.<br> Таким образом, для применения симметричной версии локальной леммы достаточно проверить, что <tex>e(2kd − 1) / k^2 < 1</tex>, что имеет место.
+
чем $2kd - 2$. Заметим, что событие $A_{(u, v)}$ не зависит от всех других событий типа <tex>A_{(u', v')}</tex>, где <tex>(u', v')</tex> - ребро, соединяющее вершины множеств, отличных от $P_1$ и $P_2$.<br> Таким образом, для применения симметричной версии локальной леммы достаточно проверить, что <tex>e(2kd − 1) / k^2 < 1</tex>, что имеет место.
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 
*[http://club.pdmi.ras.ru/oldsite/courses/07f_probmet/probmet3.pdf Конспект лекций Ф.В. Петрова {{---}} Локальная лемма Ласло Ловаса]
 
*[http://club.pdmi.ras.ru/oldsite/courses/07f_probmet/probmet3.pdf Конспект лекций Ф.В. Петрова {{---}} Локальная лемма Ласло Ловаса]
*[https://www.youtube.com/watch?v=Jht6zBVBS-w Лекция А.М.Райгородского в ШАД]
+
*[https://www.youtube.com/watch?v=upytqnd6iqs Лекция А.М.Райгородского в ШАД]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]

Текущая версия на 23:20, 5 апреля 2020

Локальная лемма Ловаса[править]

Бывают примеры, когда очень мала вероятность самого события, но тем не менее можно утверждать, что оно заведомо произойдет. Например, если каждое из большого количества независимых событий происходит с положительной вероятностью, то с положительной (но возможно очень маленькой) вероятностью произойдут все они одновременно. Следующая важная теорема обобщает это наблюдение на случай “слабо зависимых” событий.

Теорема (Локальная лемма Ловаса):
Пояснение:
Пусть имеется семейство событий [math]A_1, A_2, ... , A_n[/math], и для каждого события [math]A_i[/math] выделено множество индексов [math]M(i) \subset \{ 1, 2, . . . , n \}[/math] такое, что [math]A_i[/math] не зависит от всех событий [math]A_j , j \notin M(i)[/math]. Это означает, что для любого события [math]B[/math], выражаемого через множество событий [math]\{ A_j, j \notin M(i) \}[/math], события [math]A_i[/math] и [math]B[/math] независимы. Через [math]\bar{A}[/math] будем обозначать дополнение события [math]A[/math].

Формулировка теоремы:

Предположим, что нашлись такие числа [math]x_i \in (0, 1)[/math], что для всех [math]i[/math] выполняется неравенство [math]P(A_i) \leq x_i\prod_{j \in M(i)}(1-x_j)[/math]. Тогда [math]P(\bigcap \bar{A_i}) \geq \prod(1-x_i)[/math], что значит, что с положительной вероятностью ни одного из событий [math]A_i[/math] не происходит.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем более сильное утверждение: если [math]I = I_1 \sqcup I_2[/math], где $I_1, I_2$ - множества индексов, то
[math] \begin{equation} P \left( \bigcap\limits_{i \in I} \bar{A_i} \right) \geq P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2} \bar{A_i} \right) \cdot \prod\limits_{j \in I_1}(1-x_j) \end{equation} [/math]
Для пустого $I_2$ получаем требуемое. Докажем индукцией по [math]|I|[/math]. Если [math]|I| = 1[/math], то при [math]I_2 = I, I_1 = \emptyset[/math] имеет место равенство, а при [math]I_1 = I, I_2 = \emptyset[/math] имеем [math]P(\bar{A_i}) = 1 - P(A_i) \geq 1 - x_i[/math]. Теперь предположим, что для всех множеств индексов мощности меньше [math]|I|[/math] и любых их подразбиений на два подмножества неравенство имеет место. Докажем его для $I$. Рассмотрим сначала случай [math]|I_1| = 1, I_1 = \{ k \}[/math]. Обозначим [math]P(\bigcap_{i \in I_2} \bar{A_i}) = p_0[/math]. Имеем
[math] \begin{equation} P \left( \bigcap\limits_{i \in I} \bar{A_i} \right) = p_0 - P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2} \bar{A_i} \cap A_k \right) \geq p_0 - P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2 \setminus M(k)} \bar{A_i} \cap A_k \right) = \end{equation} [/math]
[math] \begin{equation} p_0 - P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2 \setminus M(k)} \bar{A_i} \right) \cdot P(A_k) \geq p_0(1-x_k) \end{equation} [/math].
Чтобы проверить выполнение последнего неравенства, перепишем его в равносильном виде
[math] \begin{equation} p_0x_k \geq P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2 \setminus M(k)} \bar{A_i} \right) \cdot P(A_k) \end{equation} [/math].
Это неравенство следует из оценки [math]P(A_k) \leq x_k \prod_{j \in M(k)}(1-x_j)[/math] и индукционного предположения.
Пусть теперь [math]I_1 = \{ k \} \sqcup I_3, |I_3| \gt 0[/math]. Имеем
[math] \begin{equation} P \left( \bigcap\limits_{i \in I} \bar{A_i} \right) \geq P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2 \cup I_3} \bar{A_i} \right) (1 - x_k) \geq P \left( \bigcap\limits_{i \in I_2} \bar{A_i} \right) (1 - x_k) \prod\limits_{j \in I_3} (1-x_j), \end{equation} [/math]

что и требовалось (здесь первое неравенство уже доказано, а второе следует из индукционного предположения).
[math]\triangleleft[/math]

Замечание. Как видно из доказательства, вместо независимости каждого события $A_i$ от событий, не входящих в $M(i)$ достаточно требовать для любого множества $I$ такого, что [math]I \cap (M(i) \cup \{ i \} ) = \emptyset[/math] оценки
[math] \begin{equation} P \left( A_i | \bigcap\limits_{j \in I} \bar{A_j} \right) \leq x_i \prod \limits_{j \in M(i)} (1-x_j). \end{equation} [/math]
Иногда используется именно такая версия локальной леммы.
В случае, когда оценки на вероятности всех событий совпадают, из леммы можно получить следующее утверждение:

Теорема (Симметричная версия локальной леммы):
Предположим, что [math]e \cdot p \cdot (d + 1) \leq 1,[/math] каждое событие $A_i$ происходит с вероятностью не больше, чем $p$ и [math]|M(i)| \leq d[/math] для всех $i$. Тогда с положительной вероятностью ни одного события $A_i$ не происходит.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Выберем [math]x_i = x = 1 / (d + 1)[/math]. Тогда [math](1 − x)^d \geq 1 / e[/math], что следует из определения числа $e$. Следовательно, [math]p \leq x(1 − x)^d[/math], так что выполняются условия локальной леммы.
[math]\triangleleft[/math]

Применение симметричной версии локальной леммы[править]

Задача:
Пусть $G$ - граф, степени всех вершин которого не больше $d$, $P_i$ - непересекающиеся подмножества множества вершин графа $G$ такие, что [math]|P_i| \gt 2e \cdot d[/math]. Тогда можно выбрать в каждом $P_i$ по вершине так, что никакие две соединенные ребром вершины не будут выбраны.


Решение:
Уменьшим при необходимости некоторые $P_i$ так, чтобы для всех $i$ выполнялось [math]|P_i| = k[/math], где [math]k = 2ed + 1[/math]. Будем выбирать вершины [math]x_i \in P_i[/math] случайно и независимо. Каждому ребру [math](u,v)[/math] графа $G$ сопоставим событие $A_{(u, v)}$, обозначающее, что оба конца $u$, $v$ этого ребра выбраны. Вероятность каждого такого события не больше, чем $1/k^2$. В случае, если концы ребра принадлежат одному и тому же $P_i$ или один из них не принадлежит ни одному $P_i$, вероятность такого события равна $0$ и такие $A_{(u, v)}$ мы далее не рассматриваем. Для ребра $(u, v)$, для которого, скажем [math]u \in P_1, v \in P_2[/math], рассмотрим все ребра, выходящие из вершин множеств $P_1$ и $P_2$. Таких ребер, не считая ребра $(u, v)$, будет не более, чем $2kd - 2$. Заметим, что событие $A_{(u, v)}$ не зависит от всех других событий типа [math]A_{(u', v')}[/math], где [math](u', v')[/math] - ребро, соединяющее вершины множеств, отличных от $P_1$ и $P_2$.
Таким образом, для применения симметричной версии локальной леммы достаточно проверить, что [math]e(2kd − 1) / k^2 \lt 1[/math], что имеет место.

Источники информации[править]