Изменения

'''HAT(Hashed Array Tree)Формулировка задачи:''' {{---}} структура данных, объединяющая в себе некоторые возможности массивов, хэш-таблиц и деревьевПо заданному слову <tex>X[0.. В действительности HAT {{--m-}} это эффективный способ реализовать массивы переменной длины, так как он предлагает хорошую производительность порядка <math>O(N)1]</mathtex>, чтобы добавить найти в тексте или словаре <mathtex>NY[0..n-1]</mathtex> элементов к пустому массивувсе слова, и требует всего лишь совпадающие с этим словом (или начинающиеся с этого слова) с учетом <mathtex>O(\sqrt{N})k</mathtex> дополнительной памятивозможных различий.

==ЗначимостьОписание задачи с точки зрения динамического программирования==Массивы переменной Пусть <tex>d_{i,j}</tex> - расстояние между префиксами строк <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, длины которых равны, соответственно, <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, то есть<tex>d_{{---i,j}} наиболее естественная и удобная структура данных для многих приложений= d(x(1,i), y(1, так как они обеспечивают постоянное время доступа к их элементамj))</tex>. Однако при их реализации мы можем столкнуться с двумя основными проблемамиЧтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, [[wikipedia:ru: чрезмерное копирование элементов и использование памяти. HAT Матрица_расстояний|матрицу расстояний]] надо преобразовать таким образом, чтобы <tex>d_{{---i,j}} реализация массива переменной длины</tex> представлял минимальное расстояние между <tex>x(1, решающая обе проблемы i)</tex> и предоставляющая ряд преимуществ по сравнению со стандартными реализациямилюбой подстрокой <tex>y</tex>, заканчивающейся символом <tex>y_j</tex>.Для этого достаточно ввести условие:

==Устройство HAT==HAT состоит из главного массива указателей <tex>top</tex> и ряда листьев <tex>leaf</tex> (так же одномерные массивы), в которых хранятся элементы.Возможное число указателей в главном массиве и возможное число элементов в каждом листе равны между собой и являются степенями двойки.===Получение элемента по номеру===Благодаря использованию степеней двойки, мы можем эффективно находить элементы в HAT, используя поразрядные операции. topIndex(j) <font color=green>// Получить номер указателя в основном массиве</font> '''return''' j >> power; leafIndex(j) <font color=green>// Получить номер листа</font> '''return''' j & ((1<<power)-1); getHat(j) <font color=green>// Вернуть элемент HAT. Нет проверки на выход за пределы массива.</font> '''return''' top[topIndex(j)][leafIndex(j)];[[Файл:fullHAT.png|200px|left]]Рассмотрим как происходит вычисление адреса на примере. Пусть у нас есть HAT с 3-мя используемыми листьями, тогда для нашего случая <tex>power = 3</tex>. Получим значения функций для элемент под номером <tex>5</tex>: *<tex>topIndex(5)</tex> : в данном случае битовый сдвиг эквивалентен опреации деления(взятию по модулю) <tex>j</tex> на <math>2^d_{3}</math>. То есть получим <tex>1</tex> {{---}} действительно элемент под номером <tex>5</tex> находится в первом листе(нумерация листов с <tex>0</tex>).*<tex>leafIndex(5)</tex> : в данном случае битовый сдвиг эквивалентен умножению <tex>1</tex> на <tex>2^{3}</tex>. Тоесть после вычитания <tex>1</tex> получим число формата <tex>011..11</tex>, в нашем случае {{---}} <tex>011</tex>. *<tex>5_{10j} = 101_2 - 101 \& 011 = 001</tex>0, то есть индекс в листе равен 0 <tex>1j </tex> (в листах нумерация так же с <tex>0n</tex>).

==Алгоритм=Добавление элементов===[[Файл:AlgoF2.gif|400px|left]]Чаще всего при добавлении элемента в одном из листьев (последнем незаполненном на данный момент) найдется свободное место, что позволит осуществить быструю вставку(<math>O(1)</math>). Реже мы столкнемся со случаем, когда необходимо создать новый лист. Достаточно всего лишь добавить указатель в свободную ячейку главного массива, что также позволит произвести вставку элемента за <math>O(1)</math>.Самый интересный случай {{---}} когда главный массив и все листья заполнены. Cначала вычислим нужный размер (массивы <tex>top</tex> и <tex>leaf</tex> увеличиваются в 2 раза, то есть <math>power = power \cdot 2 </math>), затем скопируем элементы в новую структуру HAT, освобождая старые листья и распределяя новые листья(размер листа изменился, а значит количество элементов в листе и количество используемых листьев так же изменится).Такой подход к расширению помогает избежать избыточного перекопирования, используемого во многих реализациях массивов переменной длины, потому что увеличения размеров всех массивов происходит редко (как будет видно ниже). Копировать элементы мы будем только тогда, когда главный массив полон(достигли соответствующей степени двойки, то есть <tex> N = (2 \cdot 2)^k</tex>, где <tex>k</tex> {{---}} натуральное число), тогда общая сумма перекопирования будет равна <math>1+4+16+64+256+...+N</math>. Воспользуемся тождеством: <math>(x^{n+1} -1)=(x-1)(1+x+x^2+x^3+... + x^k)</math>, тогда для нашего случая: <math>1 +4+4^2+4^3+...+4^k = (4^{k+1} -1)/(4-1) = (4N-1)/3</math>, или около <math>4N/3</math>. Это означает, что среднее число дополнительных операций копирования {{---}} <math>O(N)</math> для последовательного добавления N элементов, а не <math>O(N^2)</math>. Мы получили <math>4N/3</math> против <math>2N</math> в обычном динамическом массиве, то есть константа уменьшилась.

===Расход памяти===HAT использует меньше дополнительной памяти[[Алгоритм_Укконена|Алгоритм Укконена]] говорит, что при вычисления расстояний между строками, диагонали матрицы можно пронумеровать целыми числами <tex>p {\in} [-m, n]</tex>, чем в стандартных подходах к расширению массивовтаким образом, то есть полном перекопировании и перераспределении всего массива.Затраты дополнительной памятичтобы диагональ <tex>p</tex> состояла из элементов <tex>(уже выделеннойi, но еще не используемойj) в самом плохом случае </tex>, у которых <tex>j - i = p</tex>. Пусть <tex>r_{p,q}</tex> представляет наибольшую строку <tex>i</tex>, у которой <tex>d_{---}i,j} = q</tex> и <mathtex>(top+leaf-1i, j) ~= 2\sqrt{N} = O</tex> лежит на диагонали <tex>p</tex>. Таким образом, <tex>q</tex> – это минимальное число различий между <tex>x(\sqrt1, r_{Np,q})</mathtex>(этот случай при пустой HAT и любой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r_{---p,q}+p} в </tex>. Значение <tex>topm</tex> один указатель на единственный пустой лист). Если в листе будет строке <tex>powerr_{p,q}</2tex>, для <tex>q < k</tex> элементов, то ожидаемая трата дополнительной памяти уменьшается указывает, что в тексте имеется вхождение образца с точностью до <mathtex>(top + leaf/2) \approx 1.5\sqrt{N}k</mathtex>отличий, а это все еще заканчивающееся в <mathtex>O(\sqrty_{Nm+p})</mathtex>. Сравним с другими структурамиТаким образом, добавляющими элементы за чтобы решить задачу <mathtex>O(1)k</mathtex>. Напримерразличий, достаточно вычислить значения <tex>r_{p, отдельно связанные списки требуют O(N) дополнительной памяти (один указатель q}</tex> для каждого элемента)<tex>q < k</tex>.

Рассмотрим алгоритм вычисления <tex>r_{p,q}</tex>. '''for''' p =0 '''to''' n r(p,-1) =Эффективность-1 '''for''' p =-(k+1) '''to''' -1 r(p,|p|-1) =|p|-1Благодаря преимуществам r(p, предоставляемыми HAT|p|-2) = |p|-2 '''for''' q = -1 '''to''' k r(так например вычисление адреса происходит приблизительно в 2 раза быстрееn+1,q) = -1 '''for''' q = 0 '''to''' k '''for''' p = -q '''to''' n r = max(r(p, чем в стандартном массиве Cq-1) ++ {{1, r(p-1,q-1), r(p+1,q-}} для соответствующего 1) + 1) r = min(r, m) '''while''' r < m '''and''' r + p < n '''and''' x(r+1) = y(r+1+p) r++ r(p,q) = r '''if''' r(p,q) = m имеется вхождение с k отличиями, заканчивающееся в y(p+m)Алгоритм вычисляет значения <tex>powerr_{p,q}</tex> мы можем сделать предвычисление выражения на <tex>(n+k+1</tex> диагоналях. Для каждой диагонали переменной строки <power)-1tex>r</tex> тогда для вычисления адреса в обоих массивах потребуется всего одна битовая операция), ее можно использовать в любых программах, требующих работу с массивами переменной длинны, где использование других структур данных (например списков) присвоить не удобно. На многих алгоритмах HAT работает значительно быстрее стандартных массивовбольше <tex>m</tex> различных значений, дополнительно можно ознакомиться с результатами некоторых тестовчто приводит к времени вычислений <reftex>[http://pmg.org.ru/ai/tree_hash.htm Результаты тестов]O(mn)</reftex>.Рассмотрим как можно ускорить решение этой задачи, используя другие методы.===Предварительные вычисления===

На этапе предварительной обработки, с помощью алгоритма Вейнера<ref>[http://europa.zbh.uni-hamburg.de/pubs/pdf/GieKur1997.pdf Giegerich R., Kurtz S. {{---}} From Ukkonen to McCreight and Weiner: A Unifying View of Linear-Time Suffix Tree Construction]</ref> строится [[wikipedia:ru:Суффиксное_дерево|суффиксное дерево]] строки <tex>y{\#}x{\$}</tex>, где <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex> – символы, не принадлежащие алфавиту, над которыми построены строки <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Этот алгоритм требует линейных затрат памяти, и, для алфавита фиксированного размера, линейного времени. Для неограниченных алфавитов этот алфавит можно преобразовать так, что он будет выполняться за время <tex>O(n\log{\sigma})</tex>, где <tex>\sigma</tex> – число различающихся символов образца. Стадия предварительной обработки требует время <tex>O(n)</tex> и <tex>O(n\log{m})</tex> для постоянного и неограниченного алфавитов, соответственно.===Модификация предыдущего алгоритма=== В приведенном выше алгоритме перед циклом <tex>while</tex> для диагонали <tex>p</tex>, переменной <tex>r</tex> было присвоено такое значение, что <tex>x(1, r)</tex> сопоставляется с точностью до <tex>k</tex> различий с некоторой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r+p}</tex>. Тогда функция цикла <tex>while</tex> находит максимальное значение для которого <tex>x(r+1, r+h) = y(r+p+1, r+p+h)</tex>. Обозначим это значение как <tex>h</tex>. Это эквивалентно нахождению длины самого длинного общего префикса суффиксов <tex>x(r+1, m)\$</tex> и <tex>y(r+p+1,n){\#}x{\$}</tex> предварительно вычисленной конкатенированной строки. Символ <tex>\#</tex> используется для предотвращения ситуаций, в которых может ошибочно рассматриваться префикс, состоящий из символов как <tex>y</tex>, так и <tex>x</tex>. Обозначим <tex>lca(r,p)</tex> как самый низкий общий предок в суффиксном дереве с листьями, определенными вышеуказанными суффиксами, тогда нужное значение <tex>h</tex> задается <tex>length(lca(r,p))</tex>.===Оценка времени работы=== Суффиксное дерево имеет <tex>O(n)</tex> узлов. Для поддержки определения самого низкого общего предка за линейное время, алгоритмам <tex>LCA</tex> требуется преобразование дерева, проводимое за линейное время. Значения <tex>r_{p,q}</tex> вычисляются на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Более того, для каждой диагонали надо вычислить <tex>k+1</tex> таких значений, что в общей сложности дает <tex>O(kn)</tex> запросов. Таким образом, общее время работы алгоритма k различий составляет <tex>O(kn)</tex> для алфавитов фиксированного размера, и <tex>O(n * \log{m} + kn)</tex> для неограниченных алфавитов.===Параллельная версия алгоритма=== В 1989 году Ландау и Вишкин разработали параллельную версию алгоритма. Она позволяет уменьшить время работы до <tex>O(\log{n}+k)</tex>, при использовании одновременно <tex>n</tex> процессоров. Для данной оценки необходимо, чтобы каждый из процессоров выполнял последовательный запрос <tex>LCA</tex> за <tex>O(1)</tex>. == Примечания ==

*[[wikipediahttp:en:Hashed array tree | Wikipedia {{//algolist.manual.ru/search/fsearch/k_razl.php k-различий -алгоритм Ландау-}} Hashed array tree Вишкина]]*Cline, M.P. and G.A. Lomow, C++ FAQs, Reading, MA: Addison-Wesley, 1995. *Cormen, T.H., C.E. Leiserson, and R.L. Rivest. Introduction to Algorithms, Cambridge, MA: MIT Press, 1990.