Изменения

{{Теорема|statement===Алгоритм разделения АВЛ-дерева Задача о проверке на два, где в первом дереве все ключи меньше заданного x, а во втором пустоту пересечения двух КС- больше==грамматик неразрешима.|proof=Пусть у нас есть дерево <tex>T</tex>. Мы должны разбить его на два дерева <tex>T_A = \{1(G_1, G_2) \mid L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing \}</tex> и . Сведем [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблему соответствий Поста]] к <tex>T_\overline{2A}</tex> такие, таким образом показав, что <tex>T_{1} \leqslant x</tex> дополнение проблемы неразрешимо. Так как рекурсивные языки [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и <tex>x < T_{2}</tex>алгебраических операций|замкнуты относительно дополнения]], то из неразрешимости дополнения проблемы будет следовать неразрешимость самой проблемы.

ПредположимДля любого экземпляра ПСП <tex>(x_1, x_2, что корень нашего дерева ..., x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ..., y_n)</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex> можно подобрать символ <tex>\# \notin \Sigma</tex>. Для каждого экземпляра построим грамматики:* <tex>G_1 : S \rightarrow aSa \mid a\#a</tex> для всех <tex>a \in \Sigma</tex>. Тогда <tex>L(G_1) = \{ w\#w^R \leqslant xmid w \in \Sigma^* \}</tex>, в таком случае все левое поддерево вместе с корнем после разделения отойдет в дерево где обозначение <tex>T_w^R</tex> {1{---}}разворот <tex>w</tex>. Тогда рекурсивно спускаемся в правое поддерево и там проверяем это условие (так как часть правого поддерева тоже может содержать ключи * <tex>G_2 : S \leqslant xrightarrow x_iSy^R_i \mid x_i\#y^R_i</tex>). Если же корень оказался для всех <tex>i = 1, 2, \dots n</tex> x. Тогда </tex>L(G_2) = \{ x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_m} \# (y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_m})^R \mid i_1, то мы спускаемся той же рекурсиейi_2, но только в левое поддерево и ищем там\dots i_m \in \{ 1, 2, \dots n \}, m \geqslant 1 \}</tex>.

Пусть мы пришли в поддерево Если данный экземпляр ПСП имеет решение, то <tex>SL(G_2)</tex>, корень которого содержит хотя бы одну строку вида <tex>w\leqslant x#w^R</tex>. В таком случае этот корень со своим левым поддеревом должен отойти в дерево , поэтому <tex>T_{1}</tex>. Поэтому мы делаем следующее: запоминаем ссылку на правое поддерево <tex>S</tex>, удаляем корень, запоминая его значение L(не меняя конфигурацию дерева, то есть просто делаем ссылки на него NULL'амиG_1). Таким образом, мы отделяем сбалансированное АВЛ-дерево \cap L(бывшее левое поддерево <tex>S</tex>G_2). Делаем новую вершину со значением бывшего корня правым листом самой правой вершины <tex>S\ne \varnothing</tex> , и запускаем балансировку. Обозначим полученное дерево за <tex>T'</tex>. Теперь нам нужно объединить его с уже построенным ранее <tex>T_{1}</tex> (оно может быть пустымнаоборот, если мы первый раз нашли такое дерево он не имеет решения, то <tex>S</tex>L(G_2). Для этого мы ищем в дереве <tex>T_{1}</tex> самое правое поддерево <tex>P</tex> высотыне содержит строк такого вида, равной высоте соответственно <tex>T'</tex> L(спускаясь от корня всегда в правые поддеревьяG_1). Делаем новое дерево <tex>K</tex>, сливая <tex>P</tex> и <tex>T'</tex> \cap L(очевидно, все ключи в <tex>T_{1}</tex> меньше ключей в <tex>T'</tex>, поэтому мы можем это сделатьG_2). Теперь в дереве <tex>T_{1}= \varnothing</tex> у отца вершины, в которой мы остановились при поиске дерева <tex>P</tex>, правым поддеревом делаем дерево <tex>K</tex> и запускаем балансировку. После нужно спуститься в правое поддерево бывшего дерева <tex>S</tex> (по ссылке, которую мы ранее запомнили) и обработать его.

Если Таким образом мы пришли в поддерево свели проблему соответствий Поста к <tex>Q\overline{A}</tex>, корень которого <tex>> x</tex>следовательно, совершаем аналогичные действия: делаем NULL'ами ссылки задача о проверке на корень <tex>Q</tex>, запоминая ссылку на его левое поддерево. Делаем новую вершину со значением бывшего корня левым листом самой левой вершины <tex>Q</tex> и запускаем балансировкупустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима. Объединяем полученное АВЛ-дерево с уже построенным ранее <tex>T_{2}</tex> аналогичным первому случаю способом, только теперь мы ищем самое левое поддерево <tex>T_{2}</tex>Из неразрешимости вышеприведенной задачи следует неразрешимость ряда других задач. Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотри пример По двум КС-грамматикам <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> можно построить КС-грамматику для [[Замкнутость КС-языков относительно различных операций#.D0.9A.D0.BE.D0.BD.D0.BA.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BD.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F|конкатенации]] задаваемых ими языков <tex>L(рисG_1)L(G_2)</tex>. 1По аналогии с этим мы можем рассматривать язык <tex>L(G_1). Цветом выделены поддеревья\#L(G_2)\#</tex>, которые после разделения должны отойти в дерево где <tex>\#</tex>T_{1{---}} новый символ, не встречающийся в алфавите. Заметим, что пересечение языков непусто, то есть <tex>L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex>. , тогда и только тогда, когда <tex>x = 76L(G_1)\#L(G_2)\#</tex>содержит [[Алгоритм Ландау-Шмидта#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|тандемный повтор]].

[[Файл:AVLАналогично можно заметить, что пересечение <tex>L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex> тогда и только тогда, когда <tex>L(G_1)\#L(G_2)^R</tex> содержит палиндром.jpg‎|350px||Рис. 1. Разделение АВЛ-дерева на два.]]

Корень дерева <tex>\leqslant x</tex>Таким образом, поэтому он со всем выделенным поддеревом должен отойти в дерево <tex>T_мы имеем:{1}</tex>. По описанному выше алгоритму отделяем это поддерево с корнем и делаем из них сбалансированное АВЛ-дерево <tex>T'</tex> (рис. 2). Так как это первая ситуация, в которой корень рассматриваемого поддерева был <tex>\leqslant x</tex>, <tex>T'</tex> становится <tex>T_{1}Утверждение|statement= Пусть дана грамматика </tex>. Далее по сохраненной ссылке спускаемся в правое поддерево. Его корень <tex>> xG</tex>. Следовательно, строим из него и его правого поддерева <tex>T_{2}L(G) = L</tex> и спускаемся в левое поддерево. Снова корень Тогда следующие задачи неразрешимы:# Содержит ли <tex>\leqslant xL</tex>тандемный повтор. Строим новое # Содержит ли <tex>T'L</tex> и объединяем его с уже существующим <tex>T_{1}</tex> (рис. 3)палиндром. [[Файл:АВВЛ2.jpg|350px||Рис. 2. Создание T'.]] [[Файл:AVL3.jpg|900px||Рис. 3. Объединение T' и T1.]] Далее действуем по алгоритму и в итоге получаем (рис. 4): [[Файл:End.jpg|350px||Рис. 4. АВЛ-деревья после разделения.]]}}