Обсуждение участницы:Анна — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема Гуйя-Ури)
 
(не показано 65 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
= Перечисления графов =
 
 
== Помеченные графы ==
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
'''Помеченный граф''' с <tex>n</tex> вершинами {{---}} граф, у которого каждая вершина помечена целым числом от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>.
 
}}
 
 
Более формально определить это понятие можно так: назовем распределением <tex>f</tex> меток в графе <tex>G</tex> с <tex>n</tex> вершинами биекцию между множеством вершин графа и множеством <tex>\{1 \cdots n\}</tex>. Тогда помеченным графом называется пара <tex>(G, f)</tex>.
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
Два помеченных графа <tex>(G_{1}, f_{1})</tex> и <tex>(G_{2}, f_{2})</tex> '''изоморфны''', если существует изоморфизм между <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex>, сохраняющий распределение меток.
 
}}
 
 
Все помеченные графы с тремя вершинами показаны на рисунке 1. <tex>4</tex> различных графа с <tex>3</tex> вершинами приводят к <tex>8</tex> различным помеченным графам.
 
 
{| cellpadding="2"
 
| || [[Файл:Перечисл1.jpg|thumb|left|420px|Рис. 1. Помеченные графы с тремя вершинами.]]
 
|}
 
 
Для нахождения числа помеченных графов с <tex>p</tex> вершинами нужно заметить, что каждое из <tex dpi = "165"> p\choose 2</tex> возможных ребер либо принадлежит графу, либо нет.
 
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about=1
+
|statement= Задача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
|statement=
+
|proof=  
Число помеченных графов с <tex>p</tex> вершинами равно <tex dpi = "165"> 2^{p\choose 2}</tex>.}}
+
Пусть <tex>A = \{ (G_1, G_2) \mid L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing \}</tex>. Сведем [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|проблему соответствий Поста]] к <tex>\overline{A}</tex>, таким образом показав, что дополнение проблемы неразрешимо. Так как рекурсивные языки [[Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и алгебраических операций|замкнуты относительно дополнения]], то из неразрешимости дополнения проблемы будет следовать неразрешимость самой проблемы.
  
Следовательно, число помеченных графов с <tex>q</tex> ребрами равно <tex dpi = "165"> {p\choose 2}\choose q</tex>.
+
Для любого экземпляра ПСП <tex>(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> и <tex>(y_1, y_2, ..., y_n)</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex> можно подобрать символ <tex>\# \notin \Sigma</tex>. Для каждого экземпляра построим грамматики:
 +
* <tex>G_1 : S \rightarrow aSa \mid a\#a</tex> для всех <tex>a \in \Sigma</tex>. Тогда <tex>L(G_1) = \{ w\#w^R \mid w \in \Sigma^* \}</tex>, где обозначение <tex>w^R</tex> {{---}} разворот <tex>w</tex>.
 +
* <tex>G_2 : S \rightarrow x_iSy^R_i \mid x_i\#y^R_i</tex> для всех <tex>i = 1, 2, \dots n</tex>. Тогда <tex>L(G_2) = \{ x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_m} \# (y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_m})^R \mid i_1, i_2, \dots i_m \in \{ 1, 2, \dots n \}, m \geqslant 1 \}</tex>.
  
{{Теорема
+
Если данный экземпляр ПСП имеет решение, то <tex>L(G_2)</tex> содержит хотя бы одну строку вида <tex>w\#w^R</tex>, поэтому <tex>L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing</tex>, и наоборот, если он не имеет решения, то <tex>L(G_2)</tex> не содержит строк такого вида, соответственно <tex>L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing</tex>.
|author=Кэли
 
|statement=
 
Число помеченных деревьев с <tex>p</tex> вершинами равно <tex> p^{p - 2}</tex>.}}
 
  
{{Теорема
+
Таким образом мы свели проблему соответствий Поста к <tex>\overline{A}</tex>, следовательно, задача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
|about=2
 
|statement=
 
Данный граф <tex>G</tex> можно пометить <tex dpi = "160">\frac{p!}{|\Gamma(G)|}</tex> способами.
 
|proof=
 
Приведем набросок доказательства.
 
 
 
Пусть <tex>A</tex> {{---}} группа подстановок, действующая на множестве <tex>X</tex>. Для всякого элемента <tex>x \in X</tex> '''орбитой''' <tex>\Theta(x)</tex> элемента <tex>x</tex> называется подмножество множества <tex>X</tex>, состоящее из всех элементов <tex>y \in X</tex> таких, что <tex>\alpha \cdot x = y</tex> для некоторой подстановки <tex>\alpha</tex> из <tex>A</tex>. '''Стабилизатором''' <tex>A(x)</tex> элемента <tex>x</tex> называется подгруппа группы <tex>A</tex>, состоящая из всех подстановок из <tex>A</tex>, оставляющих элемент <tex>x</tex> неподвижным. Теорема является следствием соотношения <tex>|A| = |\Theta(x)|\cdot|A(x)|</tex> и его интерпретации в настоящем контексте.}}
 
 
 
{| cellpadding="2"
 
| || [[Файл:Перечисл2.jpg|thumb|left|720px|Рис. 2. Помеченные деревья с четырьмя вершинами.]]
 
|}
 
 
 
Рассмотрим пример. На рисунке 2 изображены все помеченные деревья с четырьмя вершинами. Всего их <tex>16</tex>. Среди них <tex>12</tex> изоморфны цепи <tex>P_{4}</tex> и <tex>4</tex> {{---}} графу <tex>K_{1, 3}</tex>. Порядок группы <tex>\Gamma(P_{4})</tex> равен <tex>2</tex>. Порядок группы <tex>K_{1, 3} = 6</tex>. Так как <tex>p = 4</tex>, то имеем <tex dpi = "160">\frac{4!}{|\Gamma(P_{4})|} = 12</tex> и <tex dpi = "160">\frac{4!}{|\Gamma(K_{1, 3})|} = 4</tex>.
 
 
 
== Теорема перечисления Пойа ==
 
 
 
Пойа показал, как получить формулу, перечисляющую орбиты в соответствии с весами и зависящую от циклической структуры подстановок данной группы.
 
 
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Пусть <tex>A</tex> {{---}} группа подстановок, действующая на множестве <tex>X</tex> с орбитами <tex>\Theta_{1}, \Theta_{2} \cdots \Theta_{n}</tex> и <tex>\omega</tex> {{---}} функция, приписывающая веса каждой орбите (весовая функция). Более того, <tex>\omega</tex> определяется на <tex>X</tex> так, что <tex>\omega(x) = \omega(\Theta_{i})</tex>, если <tex>x \in \Theta_{i}</tex>. Тогда сумма весов орбит равна <tex>|A| \sum\limits_{i=1}^n \omega(\Theta_{i}) = \sum\limits_{\alpha \in A} \sum\limits_{x = \alpha x} \omega(x)</tex>.
 
|proof=
 
Уже упоминалось о том, что порядок <tex>|A|</tex> группы <tex>A</tex> равен <tex>|A(x)| \cdot |\Theta(x)|</tex> для любого <tex>x \in X</tex>, где <tex>A(x)</tex> {{---}} стабилизатор элемента <tex>x</tex>. Так как весовая функция постоянна на элементах данной орбиты, то справедливо равенство <tex>|\Theta_{i}| \omega(\Theta_{i}) = \sum\limits_{x \in \Theta_{i}}\omega(x)</tex> для каждой орбиты <tex>\Theta_{i}</tex>. Домножив второе равенство на первое и сократив, получаем <tex>|A| \omega(\Theta_{i}) = \sum\limits_{x \in \Theta_{i}}|A(x)|\omega(x)</tex>. Суммируя по всем орбитам, находим <tex>|A|\sum\limits_{i=1}^n \omega(\Theta_{i}) = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{x \in \Theta_{i}}|A(x)|\omega(x)</tex>, откуда непосредственно следует доказываемое соотношение.
 
}}
 
 
 
Как следствие из этой теоремы выведем традиционную формулу Бернсайда. Для подстановки <tex>\alpha</tex> через <tex>j_{k}(\alpha)</tex> обозначим число циклов длины <tex>k</tex> в её разложении в произведение непересекающихся циклов.
 
 
 
{{Лемма
 
|author=Бернсайд
 
|statement=
 
Число <tex>N(A)</tex> орбит группы подстановок <tex>A</tex> равно <tex>N(A) = \frac{1}{|A|}\sum\limits_{\alpha \in A}j_{1}(\alpha)</tex>.
 
|proof=
 
Так как в доказательстве этой леммы мы не учитываем значения весовой функции, то <tex>|A|N(A) = \sum\limits_{\alpha \in A} \sum\limits_{x = \alpha x}1</tex>, но <tex>\sum\limits_{x = \alpha x}1</tex> и есть <tex>j_{1}(\alpha)</tex>, то есть для получения исходной формулы нужно поделить обе части равенства на <tex>|A|</tex>.
 
 
}}
 
}}
 +
Из неразрешимости вышеприведенной задачи следует неразрешимость ряда других задач. Рассмотрим несколько примеров.
  
= Теорема Гуйя-Ури =
+
По двум КС-грамматикам <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> можно построить КС-грамматику для [[Замкнутость КС-языков относительно различных операций#.D0.9A.D0.BE.D0.BD.D0.BA.D0.B0.D1.82.D0.B5.D0.BD.D0.B0.D1.86.D0.B8.D1.8F|конкатенации]] задаваемых ими языков <tex>L(G_1)L(G_2)</tex>. По аналогии с этим мы можем рассматривать язык <tex>L(G_1)\#L(G_2)\#</tex>, где <tex>\#</tex> {{---}} новый символ, не встречающийся в алфавите. Заметим, что пересечение языков непусто, то есть <tex>L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex>, тогда и только тогда, когда <tex>L(G_1)\#L(G_2)\#</tex> содержит [[Алгоритм Ландау-Шмидта#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|тандемный повтор]].  
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
Ориентированный сильно связный граф называется '''орсвязаными'''.}}
 
== Лемма о длине цикла в ориентированном графе ==
 
{{Лемма
 
|about=о длине цикла в ориентированном графе
 
|statement= Пусть <tex>G</tex> {{---}} произвольный ориентированный граф и для каждой вершины <tex>v \in V(G)</tex> выполняется <tex>deg^{out}(v) \geqslant \delta</tex>. Если <tex>\delta \geqslant 2</tex>, то в графе <tex>G</tex> существует простой цикл <tex>C</tex> длины хотя бы <tex>\delta + 1</tex>.
 
|proof=
 
Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 \dots v_s</tex>. Из последней вершины <tex>v_s</tex> выходит хотя бы <tex>\delta - 1</tex> ребро в вершины, отличные от <tex>v_{s - 1}</tex>. Так как путь <tex>P</tex> максимальный, то продлить его нельзя, а значит, что из <tex>v_s</tex> выходят ребра только в вершины, содержащиеся в пути <tex>P</tex>. Пусть <tex>v_m \in P</tex> {{---}} вершина с наименьшим номером, в которую входит ребро из <tex>v_s</tex>. Тогда во множество <tex>\{v_m \dots v_{s - 1}\}</tex> входят не менее <tex>\delta</tex> ребер, выходящих из <tex>v_s</tex>. То есть в это множестве хотя бы <tex>\delta</tex> вершин. Значит, в цикле <tex>v_m \dots v_{s - 1} v_s</tex> не менее <tex>\delta + 1</tex> вершины.
 
}}
 
  
== Теорема Гуйя-Ури ==
+
Аналогично можно заметить, что пересечение <tex>L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing </tex> тогда и только тогда, когда <tex>L(G_1)\#L(G_2)^R</tex> содержит палиндром.
{{Теорема
 
|author=Гуйя-Ури, Ghouila-Houri
 
|statement=
 
Если <tex>G</tex> {{---}} сильно связный ориентированный граф c <tex>n</tex> вершинами и для каждой <tex>v \in V(G)</tex> выполняется <br>
 
<tex>
 
\Bigg\{
 
\begin{matrix}
 
    deg^{in}(v) \geqslant n/2 \\
 
    deg^{out}(v) \geqslant n/2 \\
 
  
\end{matrix} 
+
Таким образом, мы имеем:
</tex>, <br>
+
{{Утверждение
тогда <tex>G</tex> {{---}} гамильтонов.
+
|statement= Пусть дана грамматика <tex>G</tex>, <tex>L(G) = L</tex>. Тогда следующие задачи неразрешимы:
|proof=
+
# Содержит ли <tex>L</tex> тандемный повтор.
Будем доказывать теорему от противного. Предположим, что это не так. Очевидно, что условие теоремы выполняется при <tex>n = 2</tex> и <tex>n = 3</tex>. Тогда существует орсвязный граф <tex>G</tex> с <tex>n \geqslant 4</tex>, который удовлетворяет условию и при этом не является гамильтоновым. Пусть <tex>C</tex> {{---}} максимальный цикл в <tex>G</tex> длины <tex>k</tex>. По лемме о длине цикла и по предположению о том, что граф не является гамильтоновым, получаем соотношение <tex>1 + n/2 \leqslant k < n</tex>. Теперь рассмотрим <tex>P = v_0 \dots v_l</tex> {{---}} путь максимальной длины <tex>l \geqslant 0</tex> в <tex>G</tex> такой, что никакая вершина этого пути не принадлежит циклу <tex>C</tex>. Тогда <tex>k + l + 1 \leqslant n</tex>. Следовательно, <tex>l \leqslant n - k - 1 \leqslant n - (1 + n/2) - 1 \leqslant n/2 - 2</tex>. Таким образом, <tex>l \leqslant n/2 - 2</tex>. Это значит, что в вершину <tex>v_0</tex> входят как минимум два ребра, выходящие из вершин, лежащих на <tex>C</tex>, а из вершины <tex>v_l</tex> выходят как минимум два ребра, которые входят в вершины, принадлежащие <tex>C</tex> (так как если бы эти вершины не лежали на данном цикле, путь <tex>P</tex> можно было бы продлить). <br>
+
# Содержит ли <tex>L</tex> палиндром.
Пусть <tex>A</tex> {{---}} множество вершин, принадлежащих <tex>C</tex>, ребра из которых приходят в вершину <tex>v_0</tex>, а <tex>a</tex> {{---}} их количество. Тогда <tex>a \geqslant 2</tex>. Для каждой такой вершины следующая за ней в цикле <tex>C</tex> <tex>l + 1</tex> вершина не содержит входящих ребер, начало которых принадлежит <tex>v_l</tex>, иначе граф <tex>G</tex> содержал бы цикл длины <tex>> k</tex>. Заметим, что среди вершин множества <tex>A</tex> должна существовать такая вершина <tex>y</tex>, что следующая за ней  <tex>l + 1</tex> вершина в цикле <tex>C</tex> не является ни отцом <tex>v_0</tex>, ни сыном <tex>v_l</tex>. <br>
 
Рассмотрим оставшуюся <tex>a - 1</tex> вершину множества <tex>A</tex>, отличную от <tex>y</tex>. В следующую за каждой из них, очевидно, не может приходить ребро из <tex>v_l</tex>. Следовательно, как минимум <tex>(a - 1) + (l + 1) = a + l</tex> вершин <tex>C</tex> не являются сыновьями <tex>v_l</tex>, в противном случае, опять же, граф содержал бы цикл длины <tex>> k</tex>. <br>
 
Так как <tex>P</tex> {{---}} самый длинный путь в <tex>G</tex>, ни одна вершина которого не принадлежит <tex>C</tex>, каждая вершина, ребро из которой приходит в <tex>v_0</tex>, лежит либо на <tex>P</tex>, либо на <tex>C</tex>. Так как <tex>deg^{in}(v_0) \geqslant n/2</tex>, то <tex>a + l \geqslant n/2</tex>, следовательно <tex>deg^{out}(v_l) \leqslant (n - 1) - (a + l) \leqslant (n - 1) - n/2 = n/2 - 1</tex>. Получаем противоречие с условием. Таким образом, предположение неверно, а значит теорема доказана.
 
 
}}
 
}}

Текущая версия на 16:16, 4 января 2017

Теорема:
Задача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]A = \{ (G_1, G_2) \mid L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing \}[/math]. Сведем проблему соответствий Поста к [math]\overline{A}[/math], таким образом показав, что дополнение проблемы неразрешимо. Так как рекурсивные языки замкнуты относительно дополнения, то из неразрешимости дополнения проблемы будет следовать неразрешимость самой проблемы.

Для любого экземпляра ПСП [math](x_1, x_2, ..., x_n)[/math] и [math](y_1, y_2, ..., y_n)[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math] можно подобрать символ [math]\# \notin \Sigma[/math]. Для каждого экземпляра построим грамматики:

  • [math]G_1 : S \rightarrow aSa \mid a\#a[/math] для всех [math]a \in \Sigma[/math]. Тогда [math]L(G_1) = \{ w\#w^R \mid w \in \Sigma^* \}[/math], где обозначение [math]w^R[/math] — разворот [math]w[/math].
  • [math]G_2 : S \rightarrow x_iSy^R_i \mid x_i\#y^R_i[/math] для всех [math]i = 1, 2, \dots n[/math]. Тогда [math]L(G_2) = \{ x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_m} \# (y_{i_1} y_{i_2} \dots y_{i_m})^R \mid i_1, i_2, \dots i_m \in \{ 1, 2, \dots n \}, m \geqslant 1 \}[/math].

Если данный экземпляр ПСП имеет решение, то [math]L(G_2)[/math] содержит хотя бы одну строку вида [math]w\#w^R[/math], поэтому [math]L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing[/math], и наоборот, если он не имеет решения, то [math]L(G_2)[/math] не содержит строк такого вида, соответственно [math]L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing[/math].

Таким образом мы свели проблему соответствий Поста к [math]\overline{A}[/math], следовательно, задача о проверке на пустоту пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
[math]\triangleleft[/math]

Из неразрешимости вышеприведенной задачи следует неразрешимость ряда других задач. Рассмотрим несколько примеров.

По двум КС-грамматикам [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] можно построить КС-грамматику для конкатенации задаваемых ими языков [math]L(G_1)L(G_2)[/math]. По аналогии с этим мы можем рассматривать язык [math]L(G_1)\#L(G_2)\#[/math], где [math]\#[/math] — новый символ, не встречающийся в алфавите. Заметим, что пересечение языков непусто, то есть [math]L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing [/math], тогда и только тогда, когда [math]L(G_1)\#L(G_2)\#[/math] содержит тандемный повтор.

Аналогично можно заметить, что пересечение [math]L(G_1) \cap L(G_2) \ne \varnothing [/math] тогда и только тогда, когда [math]L(G_1)\#L(G_2)^R[/math] содержит палиндром.

Таким образом, мы имеем:

Утверждение:
Пусть дана грамматика [math]G[/math], [math]L(G) = L[/math]. Тогда следующие задачи неразрешимы:
  1. Содержит ли [math]L[/math] тандемный повтор.
  2. Содержит ли [math]L[/math] палиндром.