Обход в ширину — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Корректность)
(Анализ времени работы)
 
(не показаны 23 промежуточные версии 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Обход в ширину''' ('''Поиск в ширину''', '''BFS''', '''Breadth-first search''') — один из простейших алгоритмов обхода графа, являющийся основой для многих важных алгоритмов для работы с графами.
+
'''Обход в ширину''' (Поиск в ширину, англ. ''BFS'', ''Breadth-first search'') — один из простейших алгоритмов обхода [[Основные определения теории графов|графа]], являющийся основой для многих важных алгоритмов для работы с графами.
  
== Алгоритм ==
+
== Описание алгоритма ==
 +
[[Image: Graph-BFS.gif|thumb|240px|Алгоритм BFS<br>
 +
<font color=#3c9eff>посещенные</font> вершины<br>]]
  
=== Общая идея ===
 
  
Пусть задан невзвешенный граф <tex> G = (V, E) </tex>, в котором выделена исходная вершина <tex>s</tex>. Для алгоритма нам потребуются очередь, которая сначала содержит только <tex> s </tex>, и множество посещенных вершин <tex> X </tex>, которое изначально тоже содержит только <tex> s </tex>. На каждом шаге алгоритм вынимает из начала очереди вершину, рассматривает все исходящие из нее ребра и добавляет все связанные с ней непосещенные вершины в <tex> X </tex> и в конец очереди. Если очередь пуста, то алгоритм завершает работу.
+
Пусть задан невзвешенный ориентированный граф <tex> G = (V, E) </tex>, в котором выделена исходная вершина <tex>s</tex>. Требуется найти длину кратчайшего пути (если таковой имеется) от одной заданной вершины до другой. Частным случаем указанного графа является невзвешенный неориентированный граф, т.е. граф, в котором для каждого ребра найдется обратное, соединяющее те же вершины в другом направлении.
  
Поиск в ширину также может построить дерево поиска в ширину. Изначально оно состоит из одного корня <tex> s </tex>. Когда мы добавляем непосещенную вершину в очередь, то добавляем ее и ребро, по которому мы до нее дошли, в дерево. Поскольку каждая вершина может быть посещена не более одного раза, она имеет не более одного родителя. После окончания работы алгоритма для каждой достижимой из <tex> s </tex> вершины <tex> t </tex> путь в дереве поиска в ширину соответствует кратчайшему пути от <tex> s </tex> до <tex> t </tex> в <tex> G </tex>.
+
Для алгоритма нам потребуются [[Очередь|очередь]] и множество посещенных вершин <tex> was </tex>, которые изначально содержат одну вершину <tex> s </tex>. На каждом шагу алгоритм берет из начала очереди вершину <tex> v </tex> и добавляет все непосещенные смежные с <tex> v </tex> вершины в <tex> was </tex> и в конец очереди. Если очередь пуста, то алгоритм завершает работу.
  
Также можно для каждой вершины <tex> t \in V </tex> считать длину этого пути, равную <tex> d[t] </tex>. Можно считать, что для непосещенных вершин эта длина бесконечно велика. Тогда на каждом шаге длина пути до <tex> t </tex> равна <tex> \rho(s, t) </tex>, если <tex> t </tex> посещена и <tex> \infty </tex> в противном случае. Отсюда следует, что если на каждом шаге обновлять длины путей, то информация о множестве <tex> X </tex> является избыточной, и его можно не хранить.
 
  
=== Анализ времени работы ===
+
== Анализ времени работы ==
 +
Оценим время работы для входного графа <tex>G = (V, E)</tex>, где множество ребер <tex> E </tex> представлено списком смежности. В очередь добавляются только непосещенные вершины, поэтому каждая вершина посещается не более одного раза. Операции внесения в очередь и удаления из нее требуют <tex> O(1) </tex> времени, так что общее время работы с очередью составляет <tex> O(|V|) </tex> операций. Для каждой вершины <tex> v </tex> рассматривается не более <tex> \mathrm{deg}(v) </tex> ребер, инцидентных ей. Так как <tex> \sum\limits_{v \in V} \mathrm{deg}(v) = 2|E| </tex>, то время, используемое на работу с ребрами, составляет <tex> O(|E|) </tex>. Поэтому общее время работы алгоритма поиска в ширину — <tex> O(|V| + |E|) </tex>.
  
Оценим время работы для входного графа <tex>G = (V, E)</tex>. В очередь добавляются только непосещенные вершины, поэтому каждая вершина посещается не более одного раза. Операции внесения в очередь и удаления из нее требуют <tex> O(1) </tex> времени, так что общее время работы с очередью составляет <tex> O(|V|) </tex> операций. Для каждой вершины <tex> v </tex> рассматривается не более <tex> deg\ v </tex> ребер, инцидентных ей. Так как <tex> \sum\limits_{v \in V} deg\ v = 2|E| </tex>, то время, используемое на работу с ребрами, составляет <tex> O(|E|) </tex>. Поэтому общее время работы алгоритма поиска в ширину — <tex> O(|V| + |E|) </tex>.
+
== Корректность ==
 
 
=== Корректность ===
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
В очереди поиска в ширину расстояние вершин доя <tex>s</tex> монотонно неубывает.
+
В очереди поиска в ширину расстояние вершин до <tex>s</tex> монотонно неубывает.
 
|proof=
 
|proof=
 
Докажем это утверждение индукцией по числу выполненных алгоритмом шагов.
 
Докажем это утверждение индукцией по числу выполненных алгоритмом шагов.
  
База: изначально очередь содержит только одну вершину <tex> s </tex> с расстоянием 0, утверждение верно.  
+
Введем дополнительный инвариант: у любых двух вершин из очереди, расстояние до <tex> s </tex> отличается не более чем на <tex> 1 </tex>. 
 +
 
 +
'''База''': изначально очередь содержит только одну вершину <tex> s </tex>.
 +
 
 +
'''Переход''': пусть после <tex> i-й </tex> итерации в очереди <tex> a + 1 </tex> вершин с расстоянием <tex> x </tex> и <tex> b </tex> вершин с расстоянием <tex> x + 1 </tex>.
 +
 
 +
Рассмотрим <tex> i-ю </tex> итерацию. Из очереди достаем вершину <tex> v </tex>, с расстоянием <tex> x </tex>. Пусть у v есть <tex>r  </tex> непосещенных смежных вершин. Тогда, после их добавления, в очереди находится <tex> a </tex> вершин с расстоянием <tex> x </tex> и, после них, <tex> b + r </tex> вершин с расстоянием <tex> x + 1 </tex>.  
  
Переход: пусть после <tex> l </tex>-ого шага алгоритма очередь содержит <tex> p </tex> вершин с расстоянием <tex> k </tex> и <tex> q </tex> вершин с расстоянием <tex> k + 1 </tex>. Тогда на <tex> l+1 </tex>-ом шаге мы извлечем из очереди одну вершину и добавим в нее все непосещенные(<tex> r </tex> вершин), связанные с ней; расстояние до них, очевидно, будет равно <tex> k + 1 </tex>. У нас останется <tex> p - 1 </tex> (возможно, 0) вершин с расстоянием <tex> k </tex> и <tex> q + r </tex> вершин с расстоянием k + 1, что соответствует нашему инварианту.
+
Оба инварианта сохранились, <tex> \Rightarrow </tex> после любого шага алгоритма элементы в очереди неубывают.  
 
}}
 
}}
  
Строка 34: Строка 39:
 
Допустим, что это не так. Выберем из вершин, для которых кратчайшие пути от <tex> s </tex> найдены некорректно, ту, настоящее расстояние до которой минимально. Пусть это вершина <tex> u </tex>, и она имеет своим предком в дереве обхода в ширину <tex> v </tex>, а предок в кратчайшем пути до <tex> u </tex> — вершина <tex> w </tex>.
 
Допустим, что это не так. Выберем из вершин, для которых кратчайшие пути от <tex> s </tex> найдены некорректно, ту, настоящее расстояние до которой минимально. Пусть это вершина <tex> u </tex>, и она имеет своим предком в дереве обхода в ширину <tex> v </tex>, а предок в кратчайшем пути до <tex> u </tex> — вершина <tex> w </tex>.
  
Так как <tex> w </tex> — предок <tex> u </tex> в кратчайшем пути, то <tex> \rho(s, u) = \rho(s, w) + 1 > \rho(s, w) </tex>, и расстояние до w найдено верно, <tex> \rho(s, w) = d[w] </tex>. Значит, <tex> \rho(s, u) = d[w] + 1 </tex>.
+
Так как <tex> w </tex> — предок <tex> u </tex> в кратчайшем пути, то <tex> \rho(s, u) = \rho(s, w) + 1 > \rho(s, w) </tex>, и расстояние до <tex> w </tex> найдено верно, <tex> \rho(s, w) = d[w] </tex>. Значит, <tex> \rho(s, u) = d[w] + 1 </tex>.
  
 
Так как <tex> v </tex> — предок <tex> u </tex> в дереве обхода в ширину, то <tex> d[u] = d[v] + 1 </tex>.
 
Так как <tex> v </tex> — предок <tex> u </tex> в дереве обхода в ширину, то <tex> d[u] = d[v] + 1 </tex>.
Строка 41: Строка 46:
 
}}
 
}}
  
=== Реализация ===
+
== Дерево обхода в ширину ==
 +
 
 +
Поиск в ширину также может построить [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]] поиска в ширину. Изначально оно состоит из одного корня <tex> s </tex>. Когда мы добавляем непосещенную вершину в очередь, то добавляем ее и ребро, по которому мы до нее дошли, в дерево. Поскольку каждая вершина может быть посещена не более одного раза, она имеет не более одного родителя. После окончания работы алгоритма для каждой достижимой из <tex> s </tex> вершины <tex> t </tex> путь в дереве поиска в ширину соответствует кратчайшему пути от <tex> s </tex> до <tex> t </tex> в <tex> G </tex>.
 +
 
 +
== Реализация ==
 +
 
 +
Предложенная ниже функция возвращает кратчайшее расстояние между двумя вершинами.
 +
*<tex> \mathtt{source} </tex> — исходная вершина
 +
*<tex> \mathtt{destination} </tex> — конечная вершина
 +
*<tex> \mathtt{G} </tex> — граф, состоящий из списка вершин <tex> \mathtt{V} </tex> и списка смежности <tex> \mathtt{E} </tex>. Вершины нумеруются целыми числами.
 +
*<tex> \mathtt{Q} </tex> — очередь.
 +
*В поле <tex> \mathtt{d[u]} </tex> хранится расстояние от <tex> \mathtt{source} </tex> до <tex> \mathtt{u} </tex>.
 +
 
 +
'''int''' '''BFS'''(G: (V, E), source: '''int''', destination: '''int'''):
 +
    d = '''int'''[|V|]
 +
    '''fill'''(d, <tex> \infty </tex>)
 +
    d[source] = 0
 +
    Q = <tex> \varnothing </tex>
 +
    Q.push(source)
 +
    '''while''' Q <tex> \ne \varnothing </tex>
 +
        u = Q.pop()
 +
        '''for''' v: (u, v) '''in''' E
 +
            '''if''' d[v] == <tex> \infty </tex>
 +
                d[v] = d[u] + 1
 +
                Q.push(v)
 +
    '''return''' d[destination]
 +
 
 +
Если требуется найти расстояние лишь между двумя вершинами, из функции можно выйти, как только будет установлено значение <tex> \mathtt{d[destination]} </tex>.
 +
Еще одна оптимизация может быть проведена при помощи метода [[Meet-in-the-middle#Задача о нахождении кратчайшего расстояния между двумя вершинами в графе|meet-in-the-middle]].
 +
 
 +
== Вариации алгоритма ==
 +
=== 0-1 BFS ===
 +
Пусть в графе разрешены ребра веса <tex> 0 </tex> и <tex> 1 </tex>, необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Для решения данной задачи модифицируем приведенный выше алгоритм следующим образом:
  
В приведенном ниже псевдокоде <tex> G = (V, E) </tex> - входной граф, <tex> s </tex> - выделенная вершина, Q - очередь. Множество <tex> X </tex> не хранится, вместо него используются расстояния в дереве обхода в ширину; расстояние от <tex>s</tex> до вершины <tex>u</tex>, вычисляемое алгоритмом, хранится в поле <tex>d[u]</tex>.
+
Вместо очереди будем использовать [[Персистентный_дек|дек]] (или можно даже steque). Если рассматриваемое ее ребро имеет вес <tex> 0 </tex>, то будем добавлять вершину в начало, а иначе в конец. После этого добавления, дополнительный введенный инвариант в доказательстве [[#Корректность | расположения элементов в деке в порядке неубывания]] продолжает выполняться, поэтому порядок в деке сохраняется. И, соответственно, релаксируем расстояние до всех смежных вершин и, при успешной релаксации, добавляем их в дек.  
  
'''BFS'''(<tex>G</tex>, <tex>s</tex>)
+
Таким образом, в начале дека всегда будет вершина, расстояние до которой меньше либо равно расстоянию до остальных вершин дека, и инвариант [[#Корректность | расположения элементов в деке в порядке неубывания]] сохраняется. Значит, алгоритм корректен на том же основании, что и обычный BFS. Очевидно, что каждая вершина войдет в дек не более двух раз, значит, асимптотика у данного алгоритма та же, что и у обычного BFS.
1    d[s] <tex> \leftarrow </tex> 0
 
2    Q <tex> \leftarrow \emptyset </tex>
 
3    Q.push(s)
 
4    '''while''' Q <tex> \ne \emptyset </tex>
 
5      '''do''' u <tex> \leftarrow </tex> Q.pop
 
6        '''for''' v: uv <tex> \in </tex> E
 
7          '''do''' '''if''' d[v] = <tex> \infty </tex>
 
8            '''then''' d[v] <tex> \leftarrow </tex> d[u] + 1
 
9                Q.push(v)
 
  
== Ссылки ==
+
=== 1-k BFS ===
 +
Пусть в графе разрешены ребра целочисленного веса из отрезка <tex>1 \ldots k</tex>, необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Представим ребро <tex>uv</tex> веса <tex>m</tex> как последовательность ребер <tex>uu_1u_2 \ldots u_{m - 1}v</tex> (где <tex>u_1 \ldots u_{m - 1}</tex> — новые вершины). Применим данную операцию ко всем ребрам графа <tex> G </tex>. Получим граф, состоящий (в худшем случае) из <tex>k|E|</tex> ребер и <tex>|V| + (k - 1)|E|</tex> вершин. Для нахождения кратчайшего пути следует запустить BFS на новом графе. Данный алгоритм будет иметь асимптотику <tex> O(|V| + k|E|) </tex>.
  
* [http://e-maxx.ru/algo/bfs Поиск в ширину на e-maxx.ru]
+
== См. также ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Поиск_в_ширину Поиск в ширину в Википедии]
+
* [[Обход в глубину, цвета вершин]]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bfs-2002 Визуализатор алгоритма]
+
* [[Алгоритм Дейкстры]]
 +
* [[Теория графов]]
  
== Литература ==
+
== Источники информации ==
  
*Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1
+
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 459. — ISBN 5-8489-0857-4
 +
* [http://e-maxx.ru/algo/bfs MAXimal :: algo :: Поиск в ширину]
 +
* [[wikipedia:en:Breadth-first_search| Wikipedia {{---}} Breadth-first search]]
 +
* [[wikipedia:ru:Поиск_в_ширину| Wikipedia {{---}} Поиск в ширину]]
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bfs-2002 Визуализатор алгоритма]
  
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Кратчайшие пути в графах]]
 
[[Категория: Кратчайшие пути в графах]]

Текущая версия на 12:45, 9 июня 2019

Обход в ширину (Поиск в ширину, англ. BFS, Breadth-first search) — один из простейших алгоритмов обхода графа, являющийся основой для многих важных алгоритмов для работы с графами.

Описание алгоритма[править]

Алгоритм BFS
посещенные вершины


Пусть задан невзвешенный ориентированный граф [math] G = (V, E) [/math], в котором выделена исходная вершина [math]s[/math]. Требуется найти длину кратчайшего пути (если таковой имеется) от одной заданной вершины до другой. Частным случаем указанного графа является невзвешенный неориентированный граф, т.е. граф, в котором для каждого ребра найдется обратное, соединяющее те же вершины в другом направлении.

Для алгоритма нам потребуются очередь и множество посещенных вершин [math] was [/math], которые изначально содержат одну вершину [math] s [/math]. На каждом шагу алгоритм берет из начала очереди вершину [math] v [/math] и добавляет все непосещенные смежные с [math] v [/math] вершины в [math] was [/math] и в конец очереди. Если очередь пуста, то алгоритм завершает работу.


Анализ времени работы[править]

Оценим время работы для входного графа [math]G = (V, E)[/math], где множество ребер [math] E [/math] представлено списком смежности. В очередь добавляются только непосещенные вершины, поэтому каждая вершина посещается не более одного раза. Операции внесения в очередь и удаления из нее требуют [math] O(1) [/math] времени, так что общее время работы с очередью составляет [math] O(|V|) [/math] операций. Для каждой вершины [math] v [/math] рассматривается не более [math] \mathrm{deg}(v) [/math] ребер, инцидентных ей. Так как [math] \sum\limits_{v \in V} \mathrm{deg}(v) = 2|E| [/math], то время, используемое на работу с ребрами, составляет [math] O(|E|) [/math]. Поэтому общее время работы алгоритма поиска в ширину — [math] O(|V| + |E|) [/math].

Корректность[править]

Утверждение:
В очереди поиска в ширину расстояние вершин до [math]s[/math] монотонно неубывает.
[math]\triangleright[/math]

Докажем это утверждение индукцией по числу выполненных алгоритмом шагов.

Введем дополнительный инвариант: у любых двух вершин из очереди, расстояние до [math] s [/math] отличается не более чем на [math] 1 [/math].

База: изначально очередь содержит только одну вершину [math] s [/math].

Переход: пусть после [math] i-й [/math] итерации в очереди [math] a + 1 [/math] вершин с расстоянием [math] x [/math] и [math] b [/math] вершин с расстоянием [math] x + 1 [/math].

Рассмотрим [math] i-ю [/math] итерацию. Из очереди достаем вершину [math] v [/math], с расстоянием [math] x [/math]. Пусть у v есть [math]r [/math] непосещенных смежных вершин. Тогда, после их добавления, в очереди находится [math] a [/math] вершин с расстоянием [math] x [/math] и, после них, [math] b + r [/math] вершин с расстоянием [math] x + 1 [/math].

Оба инварианта сохранились, [math] \Rightarrow [/math] после любого шага алгоритма элементы в очереди неубывают.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Алгоритм поиска в ширину в невзвешенном графе находит длины кратчайших путей до всех достижимых вершин.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Допустим, что это не так. Выберем из вершин, для которых кратчайшие пути от [math] s [/math] найдены некорректно, ту, настоящее расстояние до которой минимально. Пусть это вершина [math] u [/math], и она имеет своим предком в дереве обхода в ширину [math] v [/math], а предок в кратчайшем пути до [math] u [/math] — вершина [math] w [/math].

Так как [math] w [/math] — предок [math] u [/math] в кратчайшем пути, то [math] \rho(s, u) = \rho(s, w) + 1 \gt \rho(s, w) [/math], и расстояние до [math] w [/math] найдено верно, [math] \rho(s, w) = d[w] [/math]. Значит, [math] \rho(s, u) = d[w] + 1 [/math].

Так как [math] v [/math] — предок [math] u [/math] в дереве обхода в ширину, то [math] d[u] = d[v] + 1 [/math].

Расстояние до [math] u [/math] найдено некорректно, поэтому [math] \rho(s, u) \lt d[u] [/math]. Подставляя сюда два последних равенства, получаем [math] d[w] + 1 \lt d[v] + 1 [/math], то есть, [math] d[w] \lt d[v] [/math]. Из ранее доказанной леммы следует, что в этом случае вершина [math] w [/math] попала в очередь и была обработана раньше, чем [math] v [/math]. Но она соединена с [math] u [/math], значит, [math] v [/math] не может быть предком [math] u [/math] в дереве обхода в ширину, мы пришли к противоречию, следовательно, найденные расстояния до всех вершин являются кратчайшими.
[math]\triangleleft[/math]

Дерево обхода в ширину[править]

Поиск в ширину также может построить дерево поиска в ширину. Изначально оно состоит из одного корня [math] s [/math]. Когда мы добавляем непосещенную вершину в очередь, то добавляем ее и ребро, по которому мы до нее дошли, в дерево. Поскольку каждая вершина может быть посещена не более одного раза, она имеет не более одного родителя. После окончания работы алгоритма для каждой достижимой из [math] s [/math] вершины [math] t [/math] путь в дереве поиска в ширину соответствует кратчайшему пути от [math] s [/math] до [math] t [/math] в [math] G [/math].

Реализация[править]

Предложенная ниже функция возвращает кратчайшее расстояние между двумя вершинами.

  • [math] \mathtt{source} [/math] — исходная вершина
  • [math] \mathtt{destination} [/math] — конечная вершина
  • [math] \mathtt{G} [/math] — граф, состоящий из списка вершин [math] \mathtt{V} [/math] и списка смежности [math] \mathtt{E} [/math]. Вершины нумеруются целыми числами.
  • [math] \mathtt{Q} [/math] — очередь.
  • В поле [math] \mathtt{d[u]} [/math] хранится расстояние от [math] \mathtt{source} [/math] до [math] \mathtt{u} [/math].
int BFS(G: (V, E), source: int, destination: int):
    d = int[|V|]
    fill(d, [math] \infty [/math])
    d[source] = 0
    Q = [math] \varnothing [/math]
    Q.push(source)
    while Q [math] \ne \varnothing [/math] 
        u = Q.pop()
        for v: (u, v) in E
            if d[v] == [math] \infty [/math]
                d[v] = d[u] + 1
                Q.push(v)
    return d[destination]

Если требуется найти расстояние лишь между двумя вершинами, из функции можно выйти, как только будет установлено значение [math] \mathtt{d[destination]} [/math]. Еще одна оптимизация может быть проведена при помощи метода meet-in-the-middle.

Вариации алгоритма[править]

0-1 BFS[править]

Пусть в графе разрешены ребра веса [math] 0 [/math] и [math] 1 [/math], необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Для решения данной задачи модифицируем приведенный выше алгоритм следующим образом:

Вместо очереди будем использовать дек (или можно даже steque). Если рассматриваемое ее ребро имеет вес [math] 0 [/math], то будем добавлять вершину в начало, а иначе в конец. После этого добавления, дополнительный введенный инвариант в доказательстве расположения элементов в деке в порядке неубывания продолжает выполняться, поэтому порядок в деке сохраняется. И, соответственно, релаксируем расстояние до всех смежных вершин и, при успешной релаксации, добавляем их в дек.

Таким образом, в начале дека всегда будет вершина, расстояние до которой меньше либо равно расстоянию до остальных вершин дека, и инвариант расположения элементов в деке в порядке неубывания сохраняется. Значит, алгоритм корректен на том же основании, что и обычный BFS. Очевидно, что каждая вершина войдет в дек не более двух раз, значит, асимптотика у данного алгоритма та же, что и у обычного BFS.

1-k BFS[править]

Пусть в графе разрешены ребра целочисленного веса из отрезка [math]1 \ldots k[/math], необходимо найти кратчайший путь между двумя вершинами. Представим ребро [math]uv[/math] веса [math]m[/math] как последовательность ребер [math]uu_1u_2 \ldots u_{m - 1}v[/math] (где [math]u_1 \ldots u_{m - 1}[/math] — новые вершины). Применим данную операцию ко всем ребрам графа [math] G [/math]. Получим граф, состоящий (в худшем случае) из [math]k|E|[/math] ребер и [math]|V| + (k - 1)|E|[/math] вершин. Для нахождения кратчайшего пути следует запустить BFS на новом графе. Данный алгоритм будет иметь асимптотику [math] O(|V| + k|E|) [/math].

См. также[править]

Источники информации[править]