Изменения

|statement = <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> — [[Определение матроида|матроид]], <tex> f \colon X \to Y</tex>. Также <tex>\exists f^{-1} \colon Y \to X</tex>. Тогда <tex>M_1 = \langle Y, I_1 = \mathcal \{ f(A) \mid A \in I \mathcal \} \rangle </tex> является матроидом.

|proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость|объединения матроидов]]. Из [[Прямая сумма матроидов|леммы]] знаем, что <tex> M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal \{ 1 \mathcal \} \cup X_2 \times \mathcal \{ 2 \mathcal \}, I = \mathcal \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal \} \rangle </tex> , где <tex> X_1 \times \mathcal \{ i \mathcal \} </tex> — декартово произведение множеств <tex> X_1 </tex> и <tex> \mathcal \{ i \mathcal \} </tex>, является матроидом. Пусть <tex>f \colon X_1 \times \mathcal \{ 1 \mathcal \} \cup X_2 \times \mathcal \{ 2 \mathcal \} \to X_1 \cup X_2 </tex>, такая, что <tex>f(x \times \mathcal \{ 1 \mathcal \}) \rightarrow x </tex>, <tex>f(x \times \mathcal \{ 2 \mathcal \}) \rightarrow x </tex>. Тогда по вышеизложенной лемме <tex> M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal \{ f(A) \mid A \in I \mathcal \} \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \cup M_2</tex>.