Изменения

|statement = <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> — [[Определение матроида|матроид]], <tex> f \colon X \to Y</tex>. Также <tex>\exists f^{-1} \colon Y \to X</tex>. Тогда <tex>M_1 = \langle Y, I_1 = \mathcal \{f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g\} \rangle </tex> является матроидом.

# <tex>\varnothing \in I_1</tex> <br /><tex> \varnothing = f(\varnothing) \in I_1 </tex># <tex>B \subset A, A \in I_1 \Rightarrow B \in I_1</tex><br /><tex>A \in I_1</tex>, значит <tex>\exists S, S \in I</tex>, такое, что <tex> A = f(S)</tex>. Из этого следует, что <tex>\forall x \in A\ f^{-1}(x) \cap S \ne \varnothing</tex>. Пусть <tex>T = \{x \in S | f(x) \in B\varnothing }</tex>. Тогда <tex> B = f(T) </tex> и из этого <tex> T \subseteq S, T \in I </tex> и <tex> B \in I_1 </tex>, ч. т. д.# Пусть <tex> A \in I_1, A = f(S), B \in I_1, B = f(T), |A| > |B|</tex>. Докажем, что <tex>\exists y \in A \setminus B, B \cup \mathcal \{ y \mathcal \} \in I_1</tex><br /><tex>A = f(S) \Rightarrow \exists S_1 \subset S, A = f(S_1), |S_1| = |A| </tex>.<br /><tex>B = f(T) \Rightarrow \exists T_1 \subset T, B = f(T_1), |T_1| = |B| </tex>.<br /><tex>S_1 \in I, T_1 \in I</tex> по второй аксиоме для <tex>M</tex>.<br /><tex> |S_1| > |T_1| </tex>, значит по третьей аксиоме для <tex>M</tex>, <tex>\exists x \in S_1 \setminus T_1, T_1 \cup \mathcal \{ x \mathcal \} \in I</tex>. Следовательно <tex>f(T_1 \cup \mathcal \{ x \mathcal \}) \in I_1 </tex> и <tex>f(x) \in f(S_1 \setminus T_1) = A \setminus B. </tex> Также <br /><tex> f(T_1 \cup \mathcal \{ x \mathcal \}) = f(T_1) \cup f(x) = B \cup f(x)</tex>. Значит <tex>\exists y = f(x) \in A \setminus B , B \cup \mathcal \{ y \mathcal \} \in I_1</tex>}}

{{Теорема|statement = [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость|Объединение матроидов]] является матроидом.|proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость|объединения матроидов]]. Из [[Прямая сумма матроидов|леммы]] знаем, что <tex> M_1 \oplus M_2= \varnothing langle X = f(X_1 \times \mathcal \{ 1 \mathcal \} \cup X_2 \times \mathcal \{ 2 \mathcal \}, I = \mathcal \{ A \mid A = A_1 \varnothing) cup A_2, A_1 \in I_1 , A_2 \in I_2 \mathcal \} \rangle </tex> 2. , где <tex>B X_1 \times \subset A, A mathcal \in I_1 { i \Rightarrow B mathcal \in I_1} </tex> — декартово произведение множеств <tex>A \in I_1X_1 </tex>, значит и <tex>\mathcal \{9i \mathcal \} S, S \in I </tex>, является матроидом. Пусть <tex>B = f(S \setminus f^-colon X_1 \times \mathcal \{ 1 (A \setminus B)), (S mathcal \} \setminus f^-1 (A cup X_2 \setminus B)) times \subset S mathcal \rightarrow (S { 2 \setminus f^-1 (A mathcal \setminus B)) } \in I</tex>. Значит <tex>B to X_1 \in I_1cup X_2 </tex>. 3. Пусть , такая, что <tex> A \in I_1, A = f(S), B x \times \in I_1, B = f(T), mathcal \mid A { 1 \mid > mathcal \mid B }) \mid rightarrow x </tex>. Докажем, что <tex> f(x \times \mathcal \{9} y \in A \setminus B, B \cup 2 \mathcal{f} y \mathcal {g} ) \in I_1rightarrow x </tex> . Тогда по вышеизложенной лемме <tex>A M_3 = f(S) \rightarrow langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal \{9} S_1 \subset S, A = f(S_1A), \mid S_1 A \in I \mathcal \mid } \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \mid A \mid cup M_2</tex>.}}

<tex>B = f(T) \rightarrow \mathcal {9} T_1 \subset T, B = f(T_1)См. также==* [[Определение матроида]]* [[Объединение матроидов, \mid T_1 \mid = \mid B \mid </tex>.проверка множества на независимость]]* [[Алгоритм построения базы в объединении матроидов]]

<tex>S_1 \in I, T_1 \in I<== Источники информации==* [https:/tex> по второй аксиоме для <tex>M</tex>courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture19.pdf Chandra Chekuri {{---}} Combinatorial Optimization]* [http://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans {{---}} Advanced Combinatorial Optimization]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Matroid Wikipedia {{---}} Matroid]

<tex> \mid S_1 \mid > \mid T_1 \mid </tex>, значит по третьей аксиоме для <tex>M</tex>, <tex>\mathcal {9} x \in S_1 \setminus T_1, T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>. Следовательно <tex>f(T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}) \in I_1</tex>.[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]<tex>f(T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}) = f(T_1) \cup f(x) = B \cup f(x)</tex>. Значит <tex>\mathcal {9} y = f(x) \in A \setminus B , B \cup \mathcal{f} y \mathcal {g} \in I_1</tex>[[Категория:Матроиды]]}} {{Теорема|statement = [[Категория:Объединение матроидов является матроидом|proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения матроидов. Из леммы знаем, что <tex>M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g} \rangle </tex> является матроидом. Пусть <tex>f \colon X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g} \to X_1 \cup X_2. Тогда по лемме <tex>M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \cup M_2</tex>.}}]]