Объединение матроидов, доказательство того, что объединение является матроидом — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 30: Строка 30:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement = Объединение матроидов является матроидом
 
|statement = Объединение матроидов является матроидом
|proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения объединения матроидов. Из [[Прямая сумма матроидов|леммы]] знаем, что <tex>M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2  \mathcal {g} \rangle </tex> является матроидом. Пусть <tex>f \colon X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g} \to X_1 \cup X_2. Тогда по лемме <tex>M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \cup M_2</tex>.
+
|proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения объединения матроидов. Из [[Прямая сумма матроидов|леммы]] знаем, что <tex> M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2  \mathcal {g} \rangle </tex> является матроидом. Пусть <tex>f \colon X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g} \to X_1 \cup X_2 </tex>. Тогда по лемме <tex> M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \cup M_2</tex>.
 
}}
 
}}

Версия 09:15, 7 июня 2011

Определение:
[math]M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle [/math] и [math] M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle [/math] — матроиды. Тогда [math] M_1 \cup M_2 = \langle X = X_1 \cup X_2, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g} \rangle [/math].
Лемма:
[math]M = \langle X, I \rangle, f \colon X \to Y[/math]. Тогда [math]M_1 = \langle Y, I_1 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle [/math] является матроидом.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем аксиомы независимости для [math] I_1 [/math].

1. [math]\varnothing \in I_1[/math]

[math] \varnothing = f(\varnothing) \in I_1 [/math]

2. [math]B \subset A, A \in I_1 \Rightarrow B \in I_1[/math]

[math]A \in I_1[/math], значит [math]\mathcal {9} S, S \in I[/math]. [math]B = f(S \setminus f^-1 (A \setminus B)), (S \setminus f^-1 (A \setminus B)) \subset S \rightarrow (S \setminus f^-1 (A \setminus B)) \in I[/math]. Значит [math]B \in I_1[/math].

3. Пусть [math] A \in I_1, A = f(S), B \in I_1, B = f(T), \mid A \mid \gt \mid B \mid [/math]. Докажем, что [math] \mathcal {9} y \in A \setminus B, B \cup \mathcal{f} y \mathcal {g} \in I_1[/math]

[math]A = f(S) \rightarrow \mathcal {9} S_1 \subset S, A = f(S_1), \mid S_1 \mid = \mid A \mid [/math].

[math]B = f(T) \rightarrow \mathcal {9} T_1 \subset T, B = f(T_1), \mid T_1 \mid = \mid B \mid [/math].

[math]S_1 \in I, T_1 \in I[/math] по второй аксиоме для [math]M[/math].

[math] \mid S_1 \mid \gt \mid T_1 \mid [/math], значит по третьей аксиоме для [math]M[/math], [math]\mathcal {9} x \in S_1 \setminus T_1, T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math]. Следовательно [math]f(T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}) \in I_1[/math].

[math]f(T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}) = f(T_1) \cup f(x) = B \cup f(x)[/math]. Значит [math]\mathcal {9} y = f(x) \in A \setminus B , B \cup \mathcal{f} y \mathcal {g} \in I_1[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Объединение матроидов является матроидом
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим матроиды [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] из определения объединения матроидов. Из леммы знаем, что [math] M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g} \rangle [/math] является матроидом. Пусть [math]f \colon X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g} \to X_1 \cup X_2 [/math]. Тогда по лемме [math] M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle[/math] — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math]. То есть [math]M_3 = M_1 \cup M_2[/math].
[math]\triangleleft[/math]