105
правок
Изменения
м
Почему нельзя просто смешаное произведение? потомучто иди нахуй, вот почему.
===Вычисление объема===
Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл:
<tex>\idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)dx_1\dots dx_n </tex>, где <tex>\chi(x_1, \dots, x_n) - </tex> характеристическая функция геометрического образа тела.
x_1 x_2 = x_1x_2(\xi_1,\xi_2,\dots,\,xi_n),;
==Общий случай==
Объём в <tex>n</tex>-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.
{{Определение
|definition='''Объем''' {{---}} это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что :# У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);
# Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.
}}
За единицу объема принимается объем <tex>n</tex>-мерного куба с ребром, равным единице.
===Переход из одной системы координат в другую===
{{Теорема
|about=О замене переменных в <tex>n</tex>-кратном интеграле
|statement= Пусть даны две <tex>n</tex>-мерныеобласти: <tex>(D)</tex> в пространстве <tex>х_1х_2x_1 x_2\dots х_nx_n</tex> и <tex>(\Delta)</tex> в пространстве <tex> \xi_1\xi_2\dots\xi_n</tex>, ограниченные каждая одной непрерывной {{---}} гладкойили гладкой или кусочно-гладкой {{---}} поверхностью. Между ними с помощью формул
<tex>
\begin{cases}
x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\,xi_n),;
\\
\\
\dotfill
\\
x_n = x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n),;
\end{cases}
</tex>
<tex> J =
\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1}
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_1x_n}{\partial \xi_2} \\ \dotfill vdots & \dotfill vdots & \dotfill ddots & \dotfill vdots \\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_1x_n}{\partial \xi_n}
\end{vmatrix}
</tex>,
интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1,x_2, \dots, х_nx_n)</tex>) можетбыть может быть преобразован по формуле:<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n =\idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n </tex>.
|proof=
Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца<ref>Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3, 2003 г. {{---}} 440 c.</ref>.
}}
===Вычисление объема===
Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n </tex>,
где <tex>\chi(x_1, \dots, x_n)</tex> – характеристическая функция геометрического образа тела.
==Вычисление объема простых фигур==
===СимплексПараллелепипед===Пусть параллелепипед задаётся точкой <math>p</math>, и ЛНЗ векторами <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>,<math>\chi(x_1, \dots, x_n)</math> — его характеристическая функция.Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку <math>p</math>,а затем заменим базис на <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>.В новой системе координат параллелепипед будет областью <math>\left[0,1\right]^n</math>. <math> \displaystylex_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{,}\\\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\J = \begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n \\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1\end{vmatrix} \text{,}\\\idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n= \idotsint\limits_{\left[0,1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.}</math> =Параллелограмм=См. также==* [[Аффинное пространство]] ==Примечания=Сфера= <references /> ==Источники информации == [[Категория: Вычислительная геометрия]][[Категория: Основание вычислительной геометрии]]
