105
правок
Изменения
м
Объём в <tex>n</tex>-мерном пространстве определяется аналогично трехмерному случаю.
{{Определение
|definition='''Объем''' {{---}} это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, что :# У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);
# Если одна фигура состоит из двух, то её объем равен сумме объемов её частей.
}}
<tex> J =
\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_1} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_1} & \cdots & \dfrac{\partial x_n}{\partial \xi_1}
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_2} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_2} & \cdots &\dfrac{\partial x_1x_n}{\partial \xi_2}
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ \dfrac{\partial x_1}{\partial \xi_n} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \xi_n} & \cdots &\dfrac{\partial x_1x_n}{\partial \xi_n}
\end{vmatrix}
</tex>,
интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1,x_2, \dots, х_nx_n)</tex>) можетбыть может быть преобразован по формуле
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{(D)}f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n =
\idotsint\limits_{(\Delta)}f(x_1(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n))|J|\mathrm d\xi_1\dots \mathrm d\xi_n
===Вычисление объема===
Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл:
<tex>\displaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n </tex>, где <tex>\chi(x_1, \dots, x_n)</tex> – характеристическая функция геометрического образа тела.
==Вычисление объема простых фигур==
===ПараллелограммПараллелепипед===Пусть параллелепипед задаётся точкой <math>p</math>, и ЛНЗ векторами <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>,<math>\chi(x_1, \dots, x_n)</math> — его характеристическая функция.Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку <math>p</math>,а затем заменим базис на <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>.В новой системе координат параллелепипед будет областью <math>\left[0,1\right]^n</math>. <math> \displaystylex_i = \sum_{j=1}^n (a_j - p)_i \xi_j \text{,}\\\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \text{,}\\J = \begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & (a_1 - p)_n \\ (a_2 - p)_1 & (a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \cdots &(a_n - p)_n\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1\end{vmatrix} \text{,}\\\idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n= \idotsint\limits_{\left[0,1\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.}</math>
== См. также==
