Объём

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВОРОТА

У нас есть гиперплоскость [math]g[/math] и точки задающие её. В [math]d[/math] мерном пространстве у нас будет [math]d[/math] линейно независимых(ЛНЗ) точек [math]a_1, a_2, \dots, a_d[/math]. Линейную независимость точек воспринимаем творчески.

Определение:

Будем называть набор из [math]d[/math] точек линейно независимым, если мы можем выбрать одну из них, провести вектора от нее до всех остальных и получить [math]d-1[/math] ЛНЗ вектор.

Возьмем в нашем пространстве еще одну выделенную точку [math]p[/math]. Получившийся набор [math]a_1, a_2, \dots, a_d, p[/math] тоже будет ЛНЗ.

Пусть у нас есть какая-то выделенная зарание система координат [math]C[/math]. Эта система приходит обычно вместе с какой-то задачей, и обычно она декартова. И у нас тоже будет сейчас декартова.

Мы знаем, что можно составить матрицу перехода, если умеем выразить координаты векторов в исходной базовой системе координат [math]C[/math]. А в нашем случае мы это сделать, конечно, можем: поскольку вектор существует между любыми парами точек, просто сопредставим нашим точкам вектора, соединяющие начало координат [math]O[/math] и очередную точку. Значит, если нам известны координаты точек, то нам известны координаты векторов в ситеме [math]C[/math]. Запишем матрицу перехода и немножко преобразуем её:

[math]A = \begin{pmatrix} \overrightarrow{Oa_1} - \overrightarrow{Op} \\ \overrightarrow{Oa_2} - \overrightarrow{Op} \\ \dots \\ \overrightarrow{Oa_d} - \overrightarrow{Op} \end{pmatrix}^ \intercal = \begin{pmatrix} a_1 - p \\ a_2 - p\\ \dots \\ a_d - p \end{pmatrix}^ \intercal = \begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{pmatrix}^ \intercal[/math]

В дальнейшем нас будут интересовать детерминант этой матрицы и его знак:

[math]det(A) = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{vmatrix}[/math]

Лемма:

Точка [math]p[/math] лежит на плоскости [math]g[/math] тогда и только тогда, когда определитель матрицы [math]A[/math] равен [math]0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Плоскость [math]g[/math] определяется замыканием набора [math]a_1, a_2, \dots, a_d[/math] ЛНЗ точек, значит, если [math]p[/math] принадлежит множеству, то [math]p[/math] является линейной комбинацией этих точек. В этом случае мы с помощью преобразований можем получить нулевую стррочку в матрице [math]A[/math], значит, ее определитель будет ноль.

[math]\triangleleft[/math]

Разобъем все точки пространства(кроме тех, что лежат на плоскости) на два множества в зависимости от того, какой знак для них будет иметь детерминант [math]A[/math]. Покажем, что наша классификация осмысленна.

Лемма:

Получившиеся множества будут выпуклыми.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению выпуклого множества. Возьмем две любые точки [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math], лежащие в одной области. По аксиоматике существует вектор [math]\overrightarrow{p_1p_2}[/math] и по определению можно сделать линейную комбинацию. Значит можем получить любую точку между [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math], лежащую с ними на одной прямой, отложив от [math]p_1[/math] вектор [math]\alpha \overrightarrow{p_1p_2}[/math], где [math]\alpha \in [0..1][/math]. Если подставить это в определитель, то получим [math]\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 + \alpha\overrightarrow{p_1p_2} & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ \alpha p_2 + (1 - \alpha)p_1 & 1 \end{vmatrix} = \alpha \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_2 & 1 \end{vmatrix} + (1 - \alpha) \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots \\ a_d & 1 \\ p_1 & 1 \end{vmatrix} [/math] Матрицы одинакового знака, и стоящие перед ними коэффициенты положительны. Значит, у нашей точки будет тот же знак определителя, что и у [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math].

[math]\triangleleft[/math]