Об интеграле Фурье — различия между версиями
Smolcoder (обсуждение | вклад) (ссылка на теорему Фубини) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 48: | Строка 48: | ||
<tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \frac{\sin A(x-t)}{x-t} = I</tex> | <tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \frac{\sin A(x-t)}{x-t} = I</tex> | ||
− | Сделаем замену переменной: <tex>u=t | + | Сделаем замену переменной: <tex>u=x-t</tex> |
<tex>I(A) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(x+u) \frac{\sin Au}u du</tex> {{---}} аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье. | <tex>I(A) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(x+u) \frac{\sin Au}u du</tex> {{---}} аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье. | ||
Строка 68: | Строка 68: | ||
признак Дини сходимости интеграла Фурье | признак Дини сходимости интеграла Фурье | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex>f \in L_1, s \in \mathbb{R}</tex>. Если существует <tex>\Delta > 0: \int\limits_0^{\Delta} \frac{\varphi_x(t)}{t} dt < + \infty</tex>, то <tex> s = \lim\limits_{A \to \infty} I(A)</tex>. | + | Пусть <tex>f \in L_1, s \in \mathbb{R}</tex>. Если существует <tex>\Delta > 0: \int\limits_0^{\Delta} \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt < + \infty</tex>, то <tex> s = \lim\limits_{A \to \infty} I(A)</tex>. |
|proof= | |proof= | ||
Предположим, что для некоторого <tex>\Delta</tex>: <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|f(x+t)+f(x-t)-2s|}t dt = \int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < +\infty</tex>. Возьмём <tex>\delta \in (0; \Delta)</tex>. | Предположим, что для некоторого <tex>\Delta</tex>: <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|f(x+t)+f(x-t)-2s|}t dt = \int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < +\infty</tex>. Возьмём <tex>\delta \in (0; \Delta)</tex>. |
Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022
Голова человеческая устроена линейно, поэтому, если оператор — нелинейный, то это — мрак полный. Живите линейно!
Ряд Фурье имеет дело с
-периодической суммируемой на функцией.Пусть
задана на всём и . Можно ли писать аналог ряда Фурье?С формальной точки зрения, аналог выписывается просто.
— существует для любого , не только натурального.
Определение: |
— синусное преобразование . | — косинусное преобразование .
Выпишем ряд , где . Если мы будем рассматривать все вещественные значения , а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.
Предложение: рассмотрим интеграл
. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана — как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.Ему можно придать более удобную форму:
.
— интеграл Фурье.
Интегральная формула Фурье
Утверждение (интегральная формула Фурье): | |||||
Применим теорему Фубини: — частный случай интеграла Фурье. . Заменим:
Сделаем замену переменной: — аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье. Проделаем то же самое, что и с рядами Фурье: сведём к полуоси:
— интеграл Дирихле.
— основное соотношение для исследования сходимости интеграла Фурье в индивидуальной точке. Это соотношение позволяет сформировать и доказать аналог теоремы Дини сходимости интеграла Фурье.
| |||||