Редактирование: Оператор замыкания для матроидов

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \{ x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \}</tex>
+
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание (closure)''' множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \mathcal {g}</tex>
}} <!---ну хз кто догадался так записать, я исправляю такое без разрешения.)))--->
+
}}
Другими словами, замыкание множества <tex> A </tex> {{---}} это все элементы из <tex> A, </tex> а также такие <tex> x \in X, </tex> которые при добавлении к некоторым независимым подмножествам <tex> A </tex> не оставляют их независимыми.
 
 
 
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид, <tex>A \subseteq X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> {{---}} [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]].
 
|statement = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид, <tex>A \subseteq X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> {{---}} [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]].
 
|proof =
 
|proof =
Пусть существуют множества <tex>B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |D|.</tex> Тогда по [[Определение матроида | 3-ей аксиоме]] <tex>\exists p \in D \setminus B :\ B \cup p \in I.</tex> Так как <tex>B</tex> {{---}} максимальное независимое множество из <tex> A </tex>, то <tex>p \notin A,</tex> то есть <tex> p \in \langle A \rangle \setminus A. </tex> Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество <tex>H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.</tex> Поскольку <tex> |H| \leqslant |B| < |B \cup p|,</tex> то по аксиоме замены существует <tex>q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.</tex>  
+
Пусть существуют множества <tex>B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |D|.</tex> Тогда по аксиоме замен<ref>[[Определение матроида | Определение матроида]], 3-я аксиома</ref> <tex>\exists p \in D \setminus B :\ B \cup p \in I.</tex> Так как <tex>B</tex> {{---}} максимальное независимое множество из <tex> A </tex>, то <tex>p \notin A,</tex> то есть <tex> p \in \langle A \rangle \setminus A. </tex> Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество <tex>H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.</tex> Поскольку <tex> |H| \leqslant |B| < |B \cup p|,</tex> то по аксиоме замены существует <tex>q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.</tex>  
  
 
Если <tex>q \in B,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A,\ </tex> но <tex> (H \cup q) \cup p \notin I </tex> в силу <tex> H \cup p \notin I </tex> (противоречие с максимальностью множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).
 
Если <tex>q \in B,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A,\ </tex> но <tex> (H \cup q) \cup p \notin I </tex> в силу <tex> H \cup p \notin I </tex> (противоречие с максимальностью множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).
}}
 
 
{{Определение
 
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = \{ x \in X \; |\; r(A \cup x) = r(A) \}</tex>, где <tex>r: 2^X \to \mathbb{N}</tex> - [[Ранговая_функция,_полумодулярность|ранговая функция]]
 
}}
 
 
{{Лемма
 
|statement = Данное определение эквивалентно предыдущему
 
|proof =
 
Пусть <tex>\langle A \rangle_1</tex> {{---}} замыкание <tex>A</tex> в смысле первого определения, <tex>\langle A \rangle_2</tex> {{---}} замыкание <tex>A</tex> в смысле второго определения.<br>
 
Покажем, что <tex>\langle A \rangle_1 = \langle A \rangle_2</tex>
 
 
# <tex>\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2</tex> <br> По предыдущей лемме, <tex>r(A) = r(\langle A \rangle_1)</tex>, а значит, <tex>\forall a \in \langle A \rangle_1 : r(A \cup a) = r(A)</tex>, а значит, <tex>a \in \langle A \rangle_2</tex>. <br> В силу произвольности <tex>a</tex>, <tex>\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2</tex>.
 
# <tex>\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1</tex> <br> Рассмотрим <tex>a \in \langle A \rangle_2 : r(A \cup a) = r(A)</tex>. Возьмем <tex>B \subseteq A, \; B \in I</tex> {{---}} наибольшее независимое подмножество <tex>A</tex>. Тогда <tex>B \cup a \notin I</tex>, так как иначе <tex>r(A \cup e) = |B \cup e| > |B| = r(A)</tex>. <br> Следовательно, <tex>b \in \langle A \rangle_1</tex>, и в силу произвольности <tex>b</tex>, <tex>\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 32: Строка 16:
 
# <tex>A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle</tex>
 
# <tex>A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle</tex>
 
# <tex>q \notin \langle A \rangle,\; q \in \langle A \cup p \rangle \Rightarrow p \in \langle A \cup q \rangle</tex>
 
# <tex>q \notin \langle A \rangle,\; q \in \langle A \cup p \rangle \Rightarrow p \in \langle A \cup q \rangle</tex>
# <tex>e \in \langle A \rangle \Rightarrow \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>
 
 
# <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle </tex>
 
# <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle </tex>
 
|proof =
 
|proof =
# Положим <tex>x \in \langle A \rangle.</tex> В соответствии с первым определением оператора замыкания есть 2 случая:
+
# Положим <tex>x \in \langle A \rangle.</tex> В соответствии с определением оператора замыкания есть 2 случая:
 
#* <tex> x \in A. </tex> Тогда <tex> x \in B </tex>, и следовательно <tex> x \in \langle B \rangle. </tex>  
 
#* <tex> x \in A. </tex> Тогда <tex> x \in B </tex>, и следовательно <tex> x \in \langle B \rangle. </tex>  
 
#* <tex>\exists H \subseteq A :\ H \in I,\ H \cup x \notin I.</tex> Для такого <tex> H </tex> также верно <tex>H \subseteq B,</tex> потому <tex>x \in \langle B \rangle.</tex>  
 
#* <tex>\exists H \subseteq A :\ H \in I,\ H \cup x \notin I.</tex> Для такого <tex> H </tex> также верно <tex>H \subseteq B,</tex> потому <tex>x \in \langle B \rangle.</tex>  
 
# Опять два случая:  
 
# Опять два случая:  
#* <tex> q \in A \cup p. </tex> Зная, что <tex> q \notin \langle A \rangle, </tex> приходим к <tex> q = p, </tex> чего нам более чем достаточно.
+
#* <tex> q \in A \cup p. </tex> Зная, что <tex> p \notin \langle A \rangle, </tex> приходим к <tex> q = p, </tex> чего нам более чем достаточно.
 
#* <tex> \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. </tex>  
 
#* <tex> \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. </tex>  
 
#*: Заметим, что <tex> p \in H </tex>, иначе бы <tex> H </tex> подходило для <tex> q \in \langle A \rangle, </tex> поэтому запишем имеющееся у нас иначе, положив <tex>  H' = H \setminus p: </tex>
 
#*: Заметим, что <tex> p \in H </tex>, иначе бы <tex> H </tex> подходило для <tex> q \in \langle A \rangle, </tex> поэтому запишем имеющееся у нас иначе, положив <tex>  H' = H \setminus p: </tex>
Строка 45: Строка 28:
 
#*: <tex> H' \cup q \in I </tex>, в противном случае в силу <tex> H' \in I </tex> было бы <tex> q \in \langle A \rangle. </tex>
 
#*: <tex> H' \cup q \in I </tex>, в противном случае в силу <tex> H' \in I </tex> было бы <tex> q \in \langle A \rangle. </tex>
 
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>  
 
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>  
# По первому свойству очевидно, что <tex>\langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle</tex>. Докажем обратное: <tex>\langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.<br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex>. По [[Ранговая_функция,_полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r(A)</tex>.<br>Но  <tex>r(A \cup e) = r(A)</tex> (так как <tex>e \in \langle A \rangle</tex>), значит, <tex>r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f)</tex>, что в свою очередь влечет <tex>r(A \cup f) = r(A \cup e \cup f)</tex>.<br>Но так как <tex>f \in  \langle A \cup e \rangle</tex> и <tex>e \in \langle A \rangle</tex>, то имеем <tex>r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)</tex>.<br>Следовательно, по определению, <tex>f \in \langle A \rangle</tex>. <br>В силу произвольности <tex>f: \langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.
+
# Из определения понятно, что <tex> \langle A \rangle \subseteq \langle \langle A \rangle \rangle </tex>. Предположим <tex>\exists p \in \langle \langle A \rangle \rangle \setminus \langle A \rangle.</tex> Возьмем максимальное по мощности множество <tex>B \in I :\ B \subseteq A.</tex> Так как <tex>p \notin \langle A \rangle,</tex> то по определению замыкания <tex>B \cup p \in I.</tex> Тогда, последовательно применив вышеуказанную лемму, дважды [[Ранговая функция, полумодулярность | определение ранга]] и снова лемму, получим <tex>r(\langle A \rangle) = r(\langle \langle A \rangle \rangle) \geqslant |B \cup p| = r(A) + 1 = r(\langle A \rangle) + 1,</tex> что невозможно.
# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in \langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>, а значит, <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \cup e_3 \cup \ldots \rangle = \langle A \rangle</tex> (где <tex>e_1, e_2, \ldots \in \langle A \rangle</tex>)
 
 
}}
 
}}
  
== Смотри также ==
+
== Примечания ==
* [[Покрытия, закрытые множества]]
+
<references/>
* [[Двойственный матроид]]
 
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
Строка 57: Строка 38:
 
* [[wikipedia:en:Matroid#Closure operators | Wikipedia {{---}} Matroid]]
 
* [[wikipedia:en:Matroid#Closure operators | Wikipedia {{---}} Matroid]]
 
* [[wikipedia:ru:Матроид#Определение в терминах правильного замыкания | Википедия {{---}} Матроид]]
 
* [[wikipedia:ru:Матроид#Определение в терминах правильного замыкания | Википедия {{---}} Матроид]]
* [http://dictionary.sensagent.com/Matroid/en-en/ sensagent.com {{---}} Matroid]
 
* [http://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec11.pdf Michel X. Goemans: Advanced Combinatorial Optimization, Lecture 11: Matroid Intersection]
 
  
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Матроиды]]
 
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)