Редактирование: Оператор замыкания для матроидов

== Замыкание ==

{{Определение
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \mathcal {g}</tex>
}}
Другими словами, замыкание множества <tex> A </tex> {{---}} это все элементы из <tex> A </tex> плюс такие <tex> x \in X, </tex> которые при добавлении к некоторым независимым подмножествам <tex> A </tex> не оставляют их независимыми.


{{Лемма
|statement = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид, <tex>A \subseteq X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> {{---}} [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]].
|proof =
Пусть существуют множества <tex>B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |D|.</tex> Тогда по [[Определение матроида | 3-ей аксиоме]] <tex>\exists p \in D \setminus B :\ B \cup p \in I.</tex> Так как <tex>B</tex> {{---}} максимальное независимое множество из <tex> A </tex>, то <tex>p \notin A,</tex> то есть <tex> p \in \langle A \rangle \setminus A. </tex> Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество <tex>H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.</tex> Поскольку <tex> |H| \leqslant |B| < |B \cup p|,</tex> то по аксиоме замены существует <tex>q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.</tex> 

Если <tex>q \in B,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A,\ </tex> но <tex> (H \cup q) \cup p \notin I </tex> в силу <tex> H \cup p \notin I </tex> (противоречие с максимальностью множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).
}}

{{Теорема
|id = theorem
|statement = Оператор замыкания для матроидов обладает следующими свойствами:
# <tex>A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle</tex>
# <tex>q \notin \langle A \rangle,\; q \in \langle A \cup p \rangle \Rightarrow p \in \langle A \cup q \rangle</tex>
# <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle </tex>
|proof =
# Положим <tex>x \in \langle A \rangle.</tex> В соответствии с определением оператора замыкания есть 2 случая:
#* <tex> x \in A. </tex> Тогда <tex> x \in B </tex>, и следовательно <tex> x \in \langle B \rangle. </tex> 
#* <tex>\exists H \subseteq A :\ H \in I,\ H \cup x \notin I.</tex> Для такого <tex> H </tex> также верно <tex>H \subseteq B,</tex> потому <tex>x \in \langle B \rangle.</tex> 
# Опять два случая: 
#* <tex> q \in A \cup p. </tex> Зная, что <tex> q \notin \langle A \rangle, </tex> приходим к <tex> q = p, </tex> чего нам более чем достаточно.
#* <tex> \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. </tex> 
#*: Заметим, что <tex> p \in H </tex>, иначе бы <tex> H </tex> подходило для <tex> q \in \langle A \rangle, </tex> поэтому запишем имеющееся у нас иначе, положив <tex>  H' = H \setminus p: </tex>
#*:: <tex> \exists H' \subseteq A:\ H' \cup p \in I,\ H' \cup p \cup q \notin I. </tex> 
#*: <tex> H' \cup q \in I </tex>, в противном случае в силу <tex> H' \in I </tex> было бы <tex> q \in \langle A \rangle. </tex>
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex> 
# Из определения понятно, что <tex> \langle A \rangle \subseteq \langle \langle A \rangle \rangle </tex>. Предположим <tex>\exists p \in \langle \langle A \rangle \rangle \setminus \langle A \rangle.</tex> Возьмем максимальное по мощности множество <tex>B \in I :\ B \subseteq A.</tex> Так как <tex>p \notin \langle A \rangle,</tex> то по определению замыкания <tex>B \cup p \in I.</tex> Тогда, последовательно применив вышеуказанную лемму, дважды [[Ранговая функция, полумодулярность | определение ранга]] и снова лемму, получим <tex>r(\langle A \rangle) = r(\langle \langle A \rangle \rangle) \geqslant |B \cup p| = r(A) + 1 = r(\langle A \rangle) + 1,</tex> что невозможно.
}}

== Покрытие ==

{{Определение
|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид. Тогда '''покрытие''' (англ. ''span'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex> span(A) = \mathcal {f} x \in X \; |\; r(A) = r(A \cup x) \mathcal {g}</tex>
}}
{{Определение
|definition = <tex> span(A) = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \forall S \subseteq A,\ S \in I,\ |S| = r(A) :\ S \cup x \notin I \mathcal {g} </tex> 
}}

{{Утверждение
|statement=Эти определения эквивалентны.
|proof=Понятно, что элементы из <tex> A </tex> подходят под оба определения. Для остальных же <tex> x </tex> равенство <tex> \ r(A) = r(A \cup x) </tex> означает, что не найдётся множеств <tex> S' \subseteq A \cup x :\ S' \in I,\ |S'| > r(A). </tex> Для такого <tex> S' </tex> обязательно будет выполнено <tex> x \in S', </tex> в противном случае <tex> S' \subseteq A, </tex> откуда следует <tex> r(A) \geqslant |S'|. </tex> Следовательно для <tex> S = S' \setminus x </tex> верно <tex> S \subseteq A,\ S \in I. </tex> Из последнего получается, что <tex> r(A) \geqslant |S|, </tex> и учитывая <tex> r(A) < |S'|,\ |S| + 1 = |S'| </tex> имеем <tex> r(A) = |S|. </tex> 

Иначе говоря, не должно существовать множеств <tex> S \subseteq A,\ S \in I,\ |S| = r(A):\ S' = S \cup x \in I. </tex> 
}}

{{Теорема
|id = theorem2
|statement = Покрытие обладает следующими свойствами:
# <tex> A, B \in X;\ A \subseteq span(B) \ \Rightarrow \ span(A) \subseteq span(B) </tex>
# <tex> A \in X,\ p \in X \setminus A,\ q \in span(A \cup p) \Rightarrow p \in span(A \cup q) </tex>
|proof =
}}

== Закрытые множества ==
{{Определение
|definition = Множество <tex>A \subseteq X</tex> называется '''закрытым''' (''closed set'', ''flat''), если <tex> span(A) = A. </tex> Класс закрытых множеств обозначается <tex> \mathcal L </tex>
}}

{{Теорема
|id = theorem3
|statement = Замкнутые множества обладают следующими свойствами:
# <tex> A, B \in \mathcal L \ \; \Rightarrow \ A \cap B \in \mathcal L </tex>
# Если <tex> F \in \mathcal L,\ p \in X \setminus A </tex> и <tex> F' </tex> {{---}} наименьшее по включению закрытое множество, содержащее <tex> F \cup p, </tex> тогда не существует <tex> F'' \in \mathcal L :\ F \subseteq F'' \subseteq F'. </tex> 
|proof =
}}

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
*''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''
* [[wikipedia:en:Matroid#Closure operators | Wikipedia {{---}} Matroid]]
* [[wikipedia:ru:Матроид#Определение в терминах правильного замыкания | Википедия {{---}} Матроид]]
* [http://dictionary.sensagent.com/Matroid/en-en/ sensagent.com {{---}} Matroid]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]