Изменения

|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{- --}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание ''' (англ. ''closure)''' ) множества <tex>A \subset subseteq X</tex> {{--- }} это множество <tex>\langle A \rangle \subset subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x\in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \}</tex>}} <!---ну хз кто догадался так записать, я исправляю такое без разрешения.)))--->Другими словами, замыкание множества <tex> A </tex> {{---}} это все элементы из <tex> A, </tex> а также такие <tex> x \in X, </tex> которые при добавлении к некоторым независимым подмножествам <tex> A </tex> не оставляют их независимыми.  {{Лемма|statement = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид, <tex>A \subseteq X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> {{---}} [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]].|proof =Пусть существуют множества <tex>B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B | = r(A) < r(\subset langle A \rangle) = |D|.</tex> Тогда по [[Определение матроида | 3-ей аксиоме]] <tex>\exists p \in D \setminus B : \ B \cup p \in I .</tex> Так как <tex>B</tex> {{---}} максимальное независимое множество из <tex> A </tex>,то <tex>p \notin A,</tex> то есть <tex> p \; in \langle A \rangle \setminus A. </tex> Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество <tex>H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.</tex> Поскольку <tex> |H| \leqslant |B| < |B \cup p|,</tex> то по аксиоме замены существует <tex>q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.</tex>  Если <tex>q \in B ,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A,\ </tex> но <tex> (H \cup x q) \cup p \notin I </tex> в силу <tex> H \cup p \notin I </tex> (противоречие с максимальностью множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \mathcal cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).}} {{Определение|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {g{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex>такое, что <tex>\langle A \rangle = \{ x \in X \; |\; r(A \cup x) = r(A) \}</tex>, где <tex>r: 2^X \to \mathbb{N}</tex> - [[Ранговая_функция,_полумодулярность|ранговая функция]]

# <tex>A \subset subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subset subseteq \langle B \rangle</tex>

# Пусть Положим <tex>x \in \langle A \rangle .</tex> В соответствии с первым определением оператора замыкания есть 2 случая:#* <tex> x \in A. </tex> Тогда <tex> x \subset in B </tex>, и следовательно <tex> x \in \langle B \rangle,. </tex> тогда #* <tex>\exists H \subseteq A :\ H \in I,\ H \cup x \notin I.</tex> Для такого <tex> H </tex> также верно <tex>H \subseteq B,</tex> потому <tex>x \in \langle B \rangle.</tex> # Опять два случая: #* <tex> q \in A \cup p. </tex> Зная, x что <tex> q \in notin \langle A \rangle., </tex> Следовательноприходим к <tex> q = p, </tex> чего нам более чем достаточно.#* <tex>\exists C H \subseteq A \cup p :\ H \in I, C \subset H \cup q \notin I. </tex> #*: Заметим, что <tex> p \in H </tex>, иначе бы <tex> H </tex> подходило для <tex> q \in \langle A \rangle, </tex> поэтому запишем имеющееся у нас иначе, положив <tex> H' = H \setminus p: C </tex>#*:: <tex> \exists H' \subseteq A:\ H' \cup x p \in I,\ H' \cup p \cup q \notin I.</tex> Но так как #*: <tex>C H' \cup q \subset Bin I </tex>,в противном случае в силу <tex> H' \in I </tex> то было бы <tex>x q \in \langle B A \rangle.</tex> Получили противоречие.# Так как *: Как видим, множество <tex>H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup p q \rangle . </tex> и # По первому свойству очевидно, что <tex>q \notin langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle,</tex> то существует зависимое множество . Докажем обратное: <tex>\mathcal {f} a_1, a_2, langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.<br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания.Рассмотрим <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex>. a_nПо [[Ранговая_функция, p, q _полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r(A)</tex>.<br>Но <tex>r(A \mathcal {g} cup e) = r(A)</tex> (a_i так как <tex>e \in \langle A \rangle</tex>), значит, <tex>r(A\cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f).</tex> Заметим, что множество в свою очередь влечет <tex>r(A \mathcal {cup f} a_1, a_2, ) = r(A \cup e \cup f)</tex>... a_n, q <br>Но так как <tex>f \in \langle A \cup e \mathcal {g} rangle</tex> и <tex>e \in I.\langle A \rangle</tex> То есть , то имеем <tex>r(A) = r(A \mathcal {cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f} a_1)</tex>.<br>Следовательно, a_2по определению, <tex>f \in \langle A \rangle</tex>.<br>В силу произвольности <tex>f: \langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.. a_n# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in \langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>, а значит, <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \cup e_3 \cup \ldots \rangle = \langle A \rangle</tex> (где <tex>e_1, pe_2, q \mathcal {g} - ldots \in \langle A \rangle</tex> цикл. Ч.т.д.)