Изменения

|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{- --}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание ''' (англ. ''closure)''' ) множества <tex>A \subset subseteq X</tex> {{- --}} это множество <tex>\langle A \rangle \subset subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x\in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \}</tex>}} <!---ну хз кто догадался так записать, я исправляю такое без разрешения.)))--->Другими словами, замыкание множества <tex> A </tex> {{---}} это все элементы из <tex> A, </tex> а также такие <tex> x \in X, </tex> которые при добавлении к некоторым независимым подмножествам <tex> A </tex> не оставляют их независимыми.  {{Лемма|statement = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} матроид, <tex>A \subseteq X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> {{---}} [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]].|proof =Пусть существуют множества <tex>B, D \in I:\ B \subset subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |D|.</tex> Тогда по [[Определение матроида | 3-ей аксиоме]] <tex>\exists p \in D \setminus B : \ B \cup p \in I .</tex> Так как <tex>B</tex> {{---}} максимальное независимое множество из <tex> A </tex>,то <tex>p \; notin A,</tex> то есть <tex> p \in \langle A \rangle \setminus A. </tex> Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество <tex>H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.</tex> Поскольку <tex> |H| \leqslant |B| < |B \cup p|,</tex> то по аксиоме замены существует <tex>q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.</tex>  Если <tex>q \in B ,</tex> то <tex>(H \cup q) \subseteq A,\ </tex> но <tex> (H \cup q) \cup p \notin I </tex> в силу <tex> H \cup x p \notin I </tex> (противоречие с максимальностью множества <tex>H</tex>). Если <tex>q = p,</tex> то <tex>(H \mathcal cup p) \in I</tex> (противоречит выбору множества <tex>H</tex>).}} {g{Определение|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}}[[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex>{{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = \{ x \in X \; |\; r(A \cup x) = r(A) \}</tex>, где <tex>r: 2^X \to \mathbb{N}</tex> - [[Ранговая_функция,_полумодулярность|ранговая функция]]

|statement = <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> - матроид, <tex>A \subset X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> - [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг]] множества <tex>A.</tex>Данное определение эквивалентно предыдущему

Пусть существуют такие множества <tex>B, C \in I: B \subset A, C \subset \langle A \rangle, |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |C|.rangle_1</tex> Тогда по аксиоме замен {{---}} замыкание <tex>\exists p \in C \setminus B : B \cup p \in I.A</tex> Так как <tex>B</tex> - максимальнов смысле первого определения, то <tex>p \in \langle A \rangle \setminus A.rangle_2</tex> По определению замыкания существует такое множество {{---}} замыкание <tex>D \subset A: D \in I, D\cup p \notin I.</tex> В силу аксиомы наследования можно считать, что <tex>|D| = |B|в смысле второго определения.</texbr> Тогда Покажем, что <tex>r(\langle A) \rangle_1 = |D| < |B \cup p|.</tex> По аксиоме замены существует <tex>q \in (langle A \cup p)\setminus D : D \cup q \notin I.rangle_2</tex>

Если # <tex>q \in Blangle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2</tex> <br> По предыдущей лемме,<tex>r(A) = r(\langle A \rangle_1)</tex> то , а значит, <tex>\forall a \in \langle A \rangle_1 : r(D A \cup qa) = r(A)</tex>, а значит, <tex>a \in \subset langle A\rangle_2</tex>(противоречит максимальности множества . <br> В силу произвольности <tex>Da</tex>, <tex>\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2</tex>). Если # <tex>q = p,\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1</tex> то <br> Рассмотрим <tex>a \in \langle A \rangle_2 : r(D A \cup pa) = r(A)</tex>. Возьмем <tex>B \subseteq A, \; B \in I</tex>(противоречит выбору множества {{---}} наибольшее независимое подмножество <tex>A</tex>. Тогда <tex>DB \cup a \notin I</tex>, так как иначе <tex>r(A \cup e) = |B \cup e| > |B| = r(A)</tex>.<br> Следовательно, <tex>b \in \langle A \rangle_1</tex>, и в силу произвольности <tex>b</tex>, <tex>\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1</tex>

# <tex>A \subset subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subset subseteq \langle B \rangle</tex>

# Пусть Положим <tex>x \in \langle A \rangle .</tex> В соответствии с первым определением оператора замыкания есть 2 случая:#* <tex> x \not\subset \langle B \rangle,in A. </tex> тогда Тогда <tex>\exists x \notin \langle in B \rangle</tex>, и следовательно <tex> x \in \langle A B \rangle.</tex> Следовательно, #* <tex>\exists C H \subseteq A :\ H \in I, C \subset A : C H \cup x \notin I.</tex> Но так как Для такого <tex> H </tex> также верно <tex>C H \subset subseteq B,</tex> то потому <tex>x \in \langle B \rangle.</tex> Получили противоречие.# Так как Опять два случая: #* <tex>q \in A \cup p. </tex> Зная, что <tex> q \notin \langle A \rangle, </tex> приходим к <tex> q = p, </tex> чего нам более чем достаточно.#* <tex> \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. </tex> #*: Заметим, что <tex> p \rangle in H </tex>, иначе бы <tex> H </tex> и подходило для <tex>q \notin in \langle A \rangle,</tex> то существует независимое множество поэтому запишем имеющееся у нас иначе, положив <tex> H' = H \setminus p: </tex>B #*:: B <tex> \exists H' \subset subseteq A :\ H' \cup p\in I, B \ H' \cup p \cup q \notin I.</tex> Так как #*: <tex> H' \cup q \in I </tex>, в противном случае в силу <tex> H' \in I </tex> было бы <tex>q \notin in \langle A \rangle. </tex>#*: Как видим,множество <tex> H' \cup q </tex> то подходит под определение <tex>p \in B\langle A \cup q \rangle. </tex> # По первому свойству очевидно, что <tex>\langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle</tex>. Докажем обратное: <tex>\langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.<br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex>. По [[Ранговая_функция, _полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (B A \setminus pcup f))\geqslant r(A \cup q e \in I.cup f) + r(A)</tex> Тогда .<br>Но <tex>r(A \cup e) = r(B A)</tex> (так как <tex>e \in \langle A \setminus prangle</tex>), значит, <tex>r(A \cup qf) \geqslant r(A \cup p e \notin Icup f)</tex>,что в свою очередь влечет <tex>r(A \cup f) = r(A \cup e \cup f)</tex>.<br>Но так как <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex> и <tex>e \in \langle A \rangle</tex>, то есть имеем <tex>r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)</tex>.<br>Следовательно, по определению, <tex>p f \in \langle A \rangle</tex>. <br>В силу произвольности <tex>f: \langle A \cup q e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in \langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>, а значит, <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \cup e_3 \cup \ldots \rangle = \langle A \rangle</tex>(где <tex>e_1, e_2, \ldots \in \langle A \rangle</tex>)