Оператор замыкания для матроидов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 46: Строка 46:
 
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>  
 
#*: Как видим, множество <tex> H' \cup q </tex> подходит под определение <tex> p \in \langle A \cup q \rangle. </tex>  
 
# По первому свойству очевидно, что <tex>\langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle</tex>. Докажем обратное: <tex>\langle A  \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.<br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex>. По [[Ранговая_функция,_полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r(A)</tex>.<br>Но  <tex>r(A \cup e) = r(A)</tex> (так как <tex>e \in \langle A \rangle</tex>), значит, <tex>r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f)</tex>, что в свою очередь влечет <tex>r(A \cup f) = r(A \cup e \cup f)</tex>.<br>Но так как <tex>f \in  \langle A \cup e \rangle</tex> и <tex>e \in \langle A \rangle</tex>, то имеем <tex>r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)</tex>.<br>Следовательно, по определению, <tex>f \in \langle A \rangle</tex>. <br>В силу произвольности <tex>f: \langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.
 
# По первому свойству очевидно, что <tex>\langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle</tex>. Докажем обратное: <tex>\langle A  \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.<br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex>. По [[Ранговая_функция,_полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r(A)</tex>.<br>Но  <tex>r(A \cup e) = r(A)</tex> (так как <tex>e \in \langle A \rangle</tex>), значит, <tex>r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f)</tex>, что в свою очередь влечет <tex>r(A \cup f) = r(A \cup e \cup f)</tex>.<br>Но так как <tex>f \in  \langle A \cup e \rangle</tex> и <tex>e \in \langle A \rangle</tex>, то имеем <tex>r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)</tex>.<br>Следовательно, по определению, <tex>f \in \langle A \rangle</tex>. <br>В силу произвольности <tex>f: \langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.
# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in \langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>, а значит, <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \cup e_3 \cup ... \rangle = \langle A \rangle</tex> (где <tex>e_1, e_2, ...\in \langle A \rangle</tex>)
+
# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in \langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex>, а значит, <tex>\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \cup e_3 \cup \ldots \rangle = \langle A \rangle</tex> (где <tex>e_1, e_2, \ldots \in \langle A \rangle</tex>)
 
}}
 
}}
  

Текущая версия на 23:50, 13 декабря 2018

Определение:
Пусть [math]M =\; \langle X,I \rangle[/math]матроид. Тогда замыкание (англ. closure) множества [math]A \subseteq X[/math] — это множество [math]\langle A \rangle \subseteq X[/math] такое, что [math]\langle A \rangle = A \cup \{ x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \}[/math]

Другими словами, замыкание множества [math] A [/math] — это все элементы из [math] A, [/math] а также такие [math] x \in X, [/math] которые при добавлении к некоторым независимым подмножествам [math] A [/math] не оставляют их независимыми.


Лемма:
Пусть [math]M =\; \langle X,I \rangle[/math] — матроид, [math]A \subseteq X[/math]. Тогда [math]r(A) = r(\langle A \rangle),[/math] где [math]r[/math]ранг.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть существуют множества [math]B, D \in I:\ B \subseteq A,\ D \subseteq \langle A \rangle,\ |B| = r(A) \lt r(\langle A \rangle) = |D|.[/math] Тогда по 3-ей аксиоме [math]\exists p \in D \setminus B :\ B \cup p \in I.[/math] Так как [math]B[/math] — максимальное независимое множество из [math] A [/math], то [math]p \notin A,[/math] то есть [math] p \in \langle A \rangle \setminus A. [/math] Согласно определению замыкания возьмём максимальное по мощности множество [math]H \subseteq A:\ H \in I,\ H\cup p \notin I.[/math] Поскольку [math] |H| \leqslant |B| \lt |B \cup p|,[/math] то по аксиоме замены существует [math]q \in (B \cup p)\setminus H :\ H \cup q \in I.[/math]

Если [math]q \in B,[/math] то [math](H \cup q) \subseteq A,\ [/math] но [math] (H \cup q) \cup p \notin I [/math] в силу [math] H \cup p \notin I [/math] (противоречие с максимальностью множества [math]H[/math]). Если [math]q = p,[/math] то [math](H \cup p) \in I[/math] (противоречит выбору множества [math]H[/math]).
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть [math]M =\; \langle X,I \rangle[/math]матроид. Тогда замыкание (англ. closure) множества [math]A \subseteq X[/math] — это множество [math]\langle A \rangle \subseteq X[/math] такое, что [math]\langle A \rangle = \{ x \in X \; |\; r(A \cup x) = r(A) \}[/math], где [math]r: 2^X \to \mathbb{N}[/math] - ранговая функция


Лемма:
Данное определение эквивалентно предыдущему
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\langle A \rangle_1[/math] — замыкание [math]A[/math] в смысле первого определения, [math]\langle A \rangle_2[/math] — замыкание [math]A[/math] в смысле второго определения.
Покажем, что [math]\langle A \rangle_1 = \langle A \rangle_2[/math]

  1. [math]\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2[/math]
    По предыдущей лемме, [math]r(A) = r(\langle A \rangle_1)[/math], а значит, [math]\forall a \in \langle A \rangle_1 : r(A \cup a) = r(A)[/math], а значит, [math]a \in \langle A \rangle_2[/math].
    В силу произвольности [math]a[/math], [math]\langle A \rangle_1 \subseteq \langle A \rangle_2[/math].
  2. [math]\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1[/math]
    Рассмотрим [math]a \in \langle A \rangle_2 : r(A \cup a) = r(A)[/math]. Возьмем [math]B \subseteq A, \; B \in I[/math] — наибольшее независимое подмножество [math]A[/math]. Тогда [math]B \cup a \notin I[/math], так как иначе [math]r(A \cup e) = |B \cup e| \gt |B| = r(A)[/math].
    Следовательно, [math]b \in \langle A \rangle_1[/math], и в силу произвольности [math]b[/math], [math]\langle A \rangle_2 \subseteq \langle A \rangle_1[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Оператор замыкания для матроидов обладает следующими свойствами:
  1. [math]A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle[/math]
  2. [math]q \notin \langle A \rangle,\; q \in \langle A \cup p \rangle \Rightarrow p \in \langle A \cup q \rangle[/math]
  3. [math]e \in \langle A \rangle \Rightarrow \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle[/math]
  4. [math]\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Положим [math]x \in \langle A \rangle.[/math] В соответствии с первым определением оператора замыкания есть 2 случая:
    • [math] x \in A. [/math] Тогда [math] x \in B [/math], и следовательно [math] x \in \langle B \rangle. [/math]
    • [math]\exists H \subseteq A :\ H \in I,\ H \cup x \notin I.[/math] Для такого [math] H [/math] также верно [math]H \subseteq B,[/math] потому [math]x \in \langle B \rangle.[/math]
  2. Опять два случая:
    • [math] q \in A \cup p. [/math] Зная, что [math] q \notin \langle A \rangle, [/math] приходим к [math] q = p, [/math] чего нам более чем достаточно.
    • [math] \exists H \subseteq A \cup p :\ H \in I,\ H \cup q \notin I. [/math]
      Заметим, что [math] p \in H [/math], иначе бы [math] H [/math] подходило для [math] q \in \langle A \rangle, [/math] поэтому запишем имеющееся у нас иначе, положив [math] H' = H \setminus p: [/math]
      [math] \exists H' \subseteq A:\ H' \cup p \in I,\ H' \cup p \cup q \notin I. [/math]
      [math] H' \cup q \in I [/math], в противном случае в силу [math] H' \in I [/math] было бы [math] q \in \langle A \rangle. [/math]
      Как видим, множество [math] H' \cup q [/math] подходит под определение [math] p \in \langle A \cup q \rangle. [/math]
  3. По первому свойству очевидно, что [math]\langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle[/math]. Докажем обратное: [math]\langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle[/math].
    Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим [math]f \in \langle A \cup e \rangle[/math]. По полумодулярности ранговой функции имеем:
    [math]r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r(A)[/math].
    Но [math]r(A \cup e) = r(A)[/math] (так как [math]e \in \langle A \rangle[/math]), значит, [math]r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f)[/math], что в свою очередь влечет [math]r(A \cup f) = r(A \cup e \cup f)[/math].
    Но так как [math]f \in \langle A \cup e \rangle[/math] и [math]e \in \langle A \rangle[/math], то имеем [math]r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)[/math].
    Следовательно, по определению, [math]f \in \langle A \rangle[/math].
    В силу произвольности [math]f: \langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle[/math].
  4. Следует из третьего свойства: [math]\forall e \in \langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle[/math], а значит, [math]\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup \langle A \rangle \rangle = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \cup e_3 \cup \ldots \rangle = \langle A \rangle[/math] (где [math]e_1, e_2, \ldots \in \langle A \rangle[/math])
[math]\triangleleft[/math]

Смотри также[править]

Источники информации[править]