Изменения

|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x \in X \; |\; \exists H \subseteq A :\ H \in I ,\; H \cup x \notin I \mathcal {g}</tex>}}<!---ну хз кто догадался так записать, я исправляю такое без разрешения.)))--->

|definition = Пусть <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> {{---}} [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание''' (англ. ''closure'') множества <tex>A \subseteq X</tex> {{---}} это множество <tex>\langle A \rangle \subseteq X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = \mathcal {f} x \in X \; |\; r(A \cup x) = r(A) \mathcal {g}</tex>, где <tex>r: 2^X \to \mathbb{N}</tex> - [[Ранговая_функция,_полумодулярность|ранговая функция]]

# Положим <tex>x \in \langle A \rangle.</tex> В соответствии с первым определением оператора замыкания есть 2 случая:

# Из определения понятноПо первому свойству очевидно, что <tex> \langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle</tex>. Докажем обратное: <tex>\langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle </tex>. Предположим <br>Воспользуемся вторым определением оператора замыкания. Рассмотрим <tex>\exists p f \in \langle A \cup e \langle rangle</tex>. По [[Ранговая_функция,_полумодулярность|полумодулярности ранговой функции]] имеем: <br><tex>r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \rangle cup e \cup f) + r(A)</tex>.<br>Но <tex>r(A \rangle cup e) = r(A)</tex> (так как <tex>e \setminus in \langle A \rangle.</tex> Возьмем максимальное по мощности множество ), значит, <tex>B r(A \cup f) \in I :geqslant r(A \ B cup e \subseteq cup f)</tex>, что в свою очередь влечет <tex>r(A \cup f) = r(A\cup e \cup f)</tex>.<br>Но так как <tex>f \in \langle A \cup e \rangle</tex> Так как и <tex>p e \notin in \langle A \rangle</tex>,то имеем <tex>r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)</tex> то .<br>Следовательно, по определению замыкания , <tex>f \in \langle A \rangle</tex>. <br>В силу произвольности <tex>B f: \langle A \cup p e \rangle \subseteq \langle A \rangle</tex>.# Следует из третьего свойства: <tex>\forall e \in I.\langle A \rangle : \langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle</tex> Тогда, последовательно применив вышеуказанную лемму, дважды [[Ранговая функция, полумодулярность | определение ранга]] и снова леммуа значит, получим <tex>r(\langle \langle A \rangle) \rangle = r(\langle A \cup \langle A \rangle \rangle) = \langle A \cup e_1 \cup e_2 \geqslant |B cup e_3 \cup p| \ldots \rangle = r(\langle A) + 1 = r\rangle</tex> (где <tex>e_1, e_2, \ldots \in \langle A \rangle) + 1,</tex> что невозможно.)