Редактирование: Операции анализа с функциональными рядами

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Равномерная сходимость функционального ряда|<<]] [[Степенные ряды|>>]]
+
== Пункт 1 ==
__TOC__
 
 
 
== Пункт 1. Коммутируемость суммы и предельного перехода ==
 
  
 
Из арифметики пределов функций хорошо известно равенство:
 
Из арифметики пределов функций хорошо известно равенство:
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{k = 0}^{n} f_k(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \lim \limits_{x \to a} f_k(x)</tex>.
+
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{k = 0}^{n} f_k(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \lim \limits_{x \to a} f_k(x)</tex>
 
 
 
Возникает вопрос, правда ли, что  
 
Возникает вопрос, правда ли, что  
<tex>\lim\limits_{x \to a} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} f_k(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_k(x)</tex>?
+
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum_{k = 0}^{\infty} f_k(x) = \sum \limits_{k = 0}^{\infty} \lim_{x \to a} f_k(x)</tex>
 
 
 
Обсуждаемое равенство {{---}} частный случай важного вопроса матанализа, имеющий отношение к перестановке местами
 
Обсуждаемое равенство {{---}} частный случай важного вопроса матанализа, имеющий отношение к перестановке местами
 
двух операций предельного перехода, что коротко записывается так:
 
двух операций предельного перехода, что коротко записывается так:
<tex>\lim \limits_{x \to a} \lim \limits_{y \to b} f(x,y) = \lim \limits_{y \to b} \lim \limits_{x \to a} f(x,y)</tex>
+
<tex>\lim \limits_{x \to a} \lim \limits_{x \to b} f(x,y) = \lim \limits_{x \to b} \lim \limits_{x \to a} f(x,y)</tex>
 
В общем случае это не так. Реанимируем пример, описанный выше и убедимся, что написанное неравенство не верно.
 
В общем случае это не так. Реанимируем пример, описанный выше и убедимся, что написанное неравенство не верно.
 
+
ЗДЕСЬ ДОЛЖНО БЫТЬ ОПИСАНИЕ ФУНКЦИИ И КАРТИНКА
[[file:picture1.png|300px]]
 
  
 
<tex>\lim \limits_{n \to \infty} \lim \limits_{x \to 0} f_n(x) = 1</tex> , так как <tex>\lim \limits_{x \to 0} f_n(x) = 1</tex>
 
<tex>\lim \limits_{n \to \infty} \lim \limits_{x \to 0} f_n(x) = 1</tex> , так как <tex>\lim \limits_{x \to 0} f_n(x) = 1</tex>
  
<tex>\lim \limits_{x \to 0} \lim \limits_{n \to \infty} f_n(x) = 0</tex> , так как <tex>\lim \limits_{n \to \infty} f_n(x) = 0</tex>
+
<tex>\lim \limits_{n \to 0} \lim \limits_{x \to \infty} f_n(x) = 0</tex> , так как <tex>\lim \limits_{x \to \infty} f_n(x) = 0</tex>
  
 
Значит, в данном случае равенство не верно.
 
Значит, в данном случае равенство не верно.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=
+
|statement=Пусть на множестве <tex>E</tex> заданы функции <tex>f_n</tex>, <tex>а</tex> {{---}} предельная точка этого множества и  
Пусть на множестве <tex>E</tex> заданы функции <tex>f_n</tex>, <tex>a</tex> {{---}} предельная точка этого множества и  
+
<tex>\forall n \in \mathbb{N} \exists \lim \limits_{x \to a} f_n(a)</tex> , тогда <tex>\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n</tex> - равномерно
<tex>\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Тогда если <tex>\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n</tex> - равномерно
 
 
сходится на <tex>E</tex>, то выполняется равенство :
 
сходится на <tex>E</tex>, то выполняется равенство :
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)</tex>
+
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim_{x \to a} f_n(x)</tex>
|proof=
+
|proof=Пусть <tex>A_n = \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Прежде всего установим, что <tex>\sum \limits_{n = 1}^{\infty} A_n < + \infty</tex>.  
Пусть <tex>A_n = \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Прежде всего установим, что <tex>\sum \limits_{n = 1}^{\infty} A_n < + \infty</tex>.  
 
 
Так как функциональный ряд сходится равномерно, то по критерию Коши равномерной сходимости:
 
Так как функциональный ряд сходится равномерно, то по критерию Коши равномерной сходимости:
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall m \ge n > N \quad \forall x \in E \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} f_k(x)| \le \varepsilon</tex>.  
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall m \ge n > N \quad \forall x \in E \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} f_k(x)| \le \varepsilon</tex>.  
Строка 36: Строка 28:
 
конечное число слагаемых, то по арифметике пределов можно перейти к пределу при  
 
конечное число слагаемых, то по арифметике пределов можно перейти к пределу при  
 
<tex>x \to a \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} A_k| < \varepsilon</tex>. Здесь <tex>\varepsilon</tex> - произвольно, следовательно по критерию Коши
 
<tex>x \to a \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} A_k| < \varepsilon</tex>. Здесь <tex>\varepsilon</tex> - произвольно, следовательно по критерию Коши
сходимости числового ряда, этот ряд сходится.
+
сходимости числового ряда, этот ряд сходится, поэтому осталось доказать только предыдущее соотношение. Для
Докажем теперь равенство из условия. Для этого будем использовать введеное ранее понятие остатка ряда,  
+
этого будем использовать введеное ранее понятие остатка ряда, которое без изменения переносится на сходящиеся
которое без изменения переносится на сходящиеся
 
 
функциональные ряды.
 
функциональные ряды.
  
 
<tex>f(x) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)</tex>, <tex>A = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} A_k</tex>,  
 
<tex>f(x) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)</tex>, <tex>A = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} A_k</tex>,  
  
<tex>f(x) = S_n(x) + R_n(x)</tex> , где <tex>R_n(x) = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty} f_k(x) </tex>
+
<tex>f(x) = f_n(x) + R_n(x)</tex> , где <tex>R_n(x) = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}</tex>
  
Аналогично : <tex>A = S_n + R_n</tex>, где <tex>R_n = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty} A_k </tex>
+
Аналогично : <tex>A = S_n + R_n</tex>, где <tex>R_n = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}</tex>
  
 
Надо доказать, что <tex>\lim \limits_{x \to a} f(x) = A</tex>. Составляем модуль разности : <tex>|f(x) - A| = </tex>
 
Надо доказать, что <tex>\lim \limits_{x \to a} f(x) = A</tex>. Составляем модуль разности : <tex>|f(x) - A| = </tex>
вставляем остатки <tex>= |S_n(x) + R_n(x) - S_n - R_n| \le |S_n(x) - S_n| + |R_n(x)| + |R_n|</tex>
+
вставляем остатки <tex>= |S_n(x) + R_n(x) - S_n - R_n| \le |S_n(x) - S_n| + |R_n(x) - R_n|</tex>
  
 
В силу сходимости ряда из пределов <tex>R_n \to 0</tex>, а в силу равномерной сходимости функционального ряда  
 
В силу сходимости ряда из пределов <tex>R_n \to 0</tex>, а в силу равномерной сходимости функционального ряда  
<tex> R_n(x) \stackrel{E}{\rightrightarrows} 0 </tex>. Отсюда ясно, что  
+
<tex>R_n \stackrel{E}{\rightrightarrows} 0</tex>. Отсюда ясно, что  
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \quad \forall x \in E \Rightarrow |R_n| < \varepsilon, \ |R_n(x)| < \varepsilon </tex>.
+
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \quad \forall x \in E \Rightarrow |R_n| < \varepsilon \quad |R_n(x) < \varepsilon|</tex>.  
 
 
 
Тогда из предыдущего неравенства, подставляя туда <tex>n_0 = N + 1</tex>,
 
Тогда из предыдущего неравенства, подставляя туда <tex>n_0 = N + 1</tex>,
 
получаем : <tex>|f(x) - A| \le |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| + 2\varepsilon</tex>. Первое слагамое справа состоит из конечного
 
получаем : <tex>|f(x) - A| \le |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| + 2\varepsilon</tex>. Первое слагамое справа состоит из конечного
 
числа слагаемых, поэтому по арифметике пределов :
 
числа слагаемых, поэтому по арифметике пределов :
 
<tex>\lim \limits_{x \to a} S_{n_0}(x) = S_{n_0}</tex>. Значит, для уже существующего
 
<tex>\lim \limits_{x \to a} S_{n_0}(x) = S_{n_0}</tex>. Значит, для уже существующего
<tex>\varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| < \varepsilon</tex>. Финально получаем :  
+
<tex>\varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - x| < \delta \Rightarrow |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| < \varepsilon</tex>. Финально получаем :  
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < 3\varepsilon</tex>.
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < 3\varepsilon</tex>.
 
Поэтому по определению предела все установлено.
 
Поэтому по определению предела все установлено.
 
}}
 
}}
  
Следствие из этой теоремы:
+
== Пункт 2 ==
{{Утверждение
 
|statement=
 
Равномерно сходящийся на <tex> [a; b] </tex> ряд из непрерывных на этом отрезке функций непрерывен на <tex> [a; b] </tex>.
 
|proof=
 
Можно применить только что доказанную теорему к каждой точке <tex> x_0 </tex> из <tex> [a; b] </tex>, полагая <tex> A_n = f_n(x_0) </tex>.
 
}}
 
 
 
== Пункт 2. Коммутируемость суммы и интеграла ==
 
В этом пункте будет приведено условие, при котором можно записать:
 
 
 
<tex> \int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =  
 
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx </tex>
 
  
 +
В этом пункте будет приведено условие при котором можно записать :
 +
<tex>
 +
\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =
 +
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx</tex>
 
Заметим, что для суммы конечного числа слагаемых это утверждение верно по линейности интеграла.
 
Заметим, что для суммы конечного числа слагаемых это утверждение верно по линейности интеграла.
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=
+
|statement= <tex>f_{n} \stackrel{[a, b]}{\rightrightarrows} f, f_{n} \in \mathcal{R}\left [a,b \right ] \Rightarrow
Пусть <tex> f_{n} </tex> интегрируема и равномерно сходится к <tex> f </tex> на <tex> [a; b] </tex>. Тогда <tex> f </tex> тоже интегрируема, и
+
f \in \mathcal{R}\left [a,b \right ] и \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f </tex>
<tex> \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f </tex>.
 
 
|proof=  
 
|proof=  
1) Прежде всего, установим интегрируемость <tex>f</tex>. Для этого необходимо проверить  
+
1) Прежде всего установим интегрируемость <tex>f</tex>. Для этого необходимо проверить  
<tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>.
+
<tex>w(f, \tau) \longrightarrow 0</tex> при <tex>rang \tau \to 0</tex>
 
 
 
По определению, <tex>w(g, [c, d]) = \sup\limits_{x',x'' \in [c,d]} |g(x'') - g(x')|</tex>
 
По определению, <tex>w(g, [c, d]) = \sup\limits_{x',x'' \in [c,d]} |g(x'') - g(x')|</tex>
  
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \quad \forall x \in [a, b] \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex> , что следует из равномерной сходимости.
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \quad \forall x \in [a, b] \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex> , что следует из равномерной сходимости.
<tex>\forall \tau : a = x_0 < x_1 < \dots < x_p = b \quad \forall x', x'' \in [x_k, x_{k+1}] : \\ : |f(x'') - f(x')| \le |f_n(x'') - f_n(x')| + |f_n(x'')-f(x'')| + |f_n(x')-f(x')| \quad \forall n > N</tex>
+
<tex>\forall \tau : a = x_0 < x_1 < ... < x_p = b \quad \forall x', x'' \in [x_k, x_{k+1}] \quad |f(x'') - f(x')| <= |f_n(x'') - f_n(x')| + |f_n(x'')-f(x'')| + |f_n(x')-f(x')| \quad \forall n > N</tex>
  
 
В этом случае по выбору <tex>N</tex>, можно написать :
 
В этом случае по выбору <tex>N</tex>, можно написать :
  
<tex>|f(x'') - f(x')| \le |f_n(x'')-f_n(x')| + 2\varepsilon</tex>
+
<tex>|f(x'')-f(x')| <= |f_n(x'')-f_n(x')| + 2\varepsilon</tex>
  
<tex>|f_n(x'') - f_n(x')| \le w(f_n, [x_k, x_{k+1}])</tex>
+
<tex>|f_n(x'')-f_n(x')| <= w(f_n, [x_k, x_{k+1}])</tex>
  
<tex>|f(x'') - f(x')| \le w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>
+
<tex>f(x'')-f(x') <= w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>
  
 
В этом неравенстве справа число, переменная есть только слева, поэтому можно перейти к <tex>\sup</tex> по <tex>x', x''</tex>, что
 
В этом неравенстве справа число, переменная есть только слева, поэтому можно перейти к <tex>\sup</tex> по <tex>x', x''</tex>, что
 
приводит к неравенству :
 
приводит к неравенству :
<tex>w(f, [x_k, x_{k+1}]) \le w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>.  
+
<tex>w(f, [x_k, x_{k+1}]) <= w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>. Это неравенство верно для любого текущего отрезка, лишь бы  
 
 
Это неравенство верно для любого текущего отрезка, лишь бы  
 
 
выполнялось, что <tex>n > N</tex>. Домножим каждое на <tex>\Delta x_k</tex> и сложим :
 
выполнялось, что <tex>n > N</tex>. Домножим каждое на <tex>\Delta x_k</tex> и сложим :
  
<tex>w(f, \tau) \le w(f_{n}, \tau) + 2\varepsilon \underbrace{\sum\limits_{k = 1}^{n - 1}\Delta x_k}_{(b - a)} </tex>
+
<tex>w(f, \tau) <= w(f_{n}, \tau) + 2\varepsilon \sum\limits_{k = 1}^{n - 1}\Delta x_k =
 +
w(f, \tau) <= w(f_{n}, \tau) + 2\varepsilon(b-a)</tex>
  
 
Подставив в это неравенство <tex>n_0 = N+1</tex>, получим :
 
Подставив в это неравенство <tex>n_0 = N+1</tex>, получим :
<tex>w(f, \tau) \le w(f_{n_0}, \tau) + 2(b - a)\varepsilon</tex>, функция <tex>f_{n_0} \in \mathcal{R}\left( a, b \right)</tex>.
+
<tex>w(f, \tau) <= w(f_{n_0}, \tau) + 2(b -a)\varepsilon</tex>, функция <tex>f_{n_0} \in \mathcal{R}\left( a, b \right)</tex>.
 
+
Неравенство выполняется для любого <tex>\tau</tex>, значит для уже существующего <tex>\varepsilon ~~ \exists \delta > 0 :
Неравенство выполняется для любого <tex>\tau</tex>, значит для уже существующего разбиения:
+
rang \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0} < \varepsilon) \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь  
 
+
<tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>rang \tau \to 0</tex>. Значит,  
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 :
+
<tex>f \in \mathcal{R}\left ( a, b \right)</tex>
\operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0}, \tau) < \varepsilon \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь  
 
<tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex> \operatorname{rang} \tau \to 0</tex>.  
 
 
 
Значит, <tex>f \in \mathcal{R}\left ( a, b \right)</tex>.
 
 
 
 
2) В силу <tex>f_{n} \stackrel{[a, b]}{\rightrightarrows} f \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N
 
2) В силу <tex>f_{n} \stackrel{[a, b]}{\rightrightarrows} f \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N
 
и \forall x \in [a, b] \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
 
и \forall x \in [a, b] \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
 +
Все функции интегрируемы, в силу этого можно писать следующее :
  
Все функции интегрируемы, в силу этого факта и линейности интеграла можно писать следующее :
+
<tex>|\int\limits_{a}^{b} f_n - \int\limits_{a}^{b} f| = |\int\limits{a}^{b} (f_n - f)| <= \int\limits_{a}^{b} |f_n - f| <=
 
 
<tex>|\int\limits_{a}^{b} f_n(x) dx - \int\limits_{a}^{b} f(x) dx| = |\int\limits_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx| \le \int\limits_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le
 
 
(b-a)\varepsilon</tex>
 
(b-a)\varepsilon</tex>
  
Таким образом, <tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \Rightarrow |\int\limits_{a}^{b} f_n(x) dx - \int\limits_{a}^{b} f(x) dx| \le (b -a)\varepsilon</tex>.
+
Таким образом, <tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \Rightarrow |\int\limits_{a}^{b} f_n - \int\limits_{a}^{b} f| <= (b -a)\varepsilon</tex>.
 
По определению предела приходим к нужному.
 
По определению предела приходим к нужному.
 
}}
 
}}
 
Следствие из этой теоремы:
 
 
{{Утверждение  
 
{{Утверждение  
 
|statement =
 
|statement =
Пусть функциональный ряд состоит из <tex>f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ]</tex> и равномерно сходится на этом отрезке.
+
Пусть функциональный ряд состоит из <tex>f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ]</tex> и равномерно сходится на  
Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться:
+
этом отрезке, тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией.
  
 
<tex>\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =  
 
<tex>\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =  
Строка 144: Строка 114:
 
Для доказательства в качестве <tex>f_n</tex> в теореме необходимо использовать частичные суммы функционального ряда.
 
Для доказательства в качестве <tex>f_n</tex> в теореме необходимо использовать частичные суммы функционального ряда.
 
}}
 
}}
 +
==Пункт 3==
  
==Пункт 3. Коммутируемость суммы и дифференцирования. ==
+
Здесь будут установлены условия, при которых можно записать : <tex>(\sum_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
 
 
Здесь будут установлены условия, при которых можно записать : <tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть на <tex> \langle a, b\rangle </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.
+
Пусть на <tex> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>. Пусть <tex>c \in <a, b>, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится. Пусть <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывная на <tex><a, b></tex> и
Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и
+
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex><a, b></tex>, тогда на <tex><a, b></tex> выполняется :
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :
 
  
<tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.
+
<tex>(\sum_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
  
|proof=  
+
|proof=
Пусть <tex>g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.
 
 
 
Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex> непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle </tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде:
 
 
 
<tex> \int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt =
 
\sum\limits_{n=1}^{\infty}(f_n(x)-f_n(c)) </tex>
 
 
 
Так как <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится, а <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(f_n(x) - f_n(c))</tex> -
 
сходится по последнему равенству, то по линейности рядов, записав <tex>f_n(x)=(f_n(x) - f_n(c)) + f_n(c)</tex>, получим, что
 
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(x)</tex> - сходится. Для всех <tex>f(x)</tex> получаем
 
 
 
<tex>\int\limits_{c}^{x}g(t)dt = f(x)-\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex>
 
 
 
Функция слева дифференцируема, тогда, по теореме Барроу, производная есть у функции справа : <tex>g(x) = f'(x)</tex>, что совпадает с тем, что надо было доказать.
 
 
}}
 
}}
 
[[Равномерная сходимость функционального ряда|<<]] [[Степенные ряды|>>]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: