Редактирование: Операции анализа с функциональными рядами

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Равномерная сходимость функционального ряда|<<]] [[Степенные ряды|>>]]
 
 
__TOC__
 
__TOC__
  
Строка 43: Строка 42:
 
<tex>f(x) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)</tex>, <tex>A = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} A_k</tex>,  
 
<tex>f(x) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)</tex>, <tex>A = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} A_k</tex>,  
  
<tex>f(x) = S_n(x) + R_n(x)</tex> , где <tex>R_n(x) = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty} f_k(x) </tex>
+
<tex>f(x) = S_n(x) + R_n(x)</tex> , где <tex>R_n(x) = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}</tex>
  
Аналогично : <tex>A = S_n + R_n</tex>, где <tex>R_n = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty} A_k </tex>
+
Аналогично : <tex>A = S_n + R_n</tex>, где <tex>R_n = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}</tex>
  
 
Надо доказать, что <tex>\lim \limits_{x \to a} f(x) = A</tex>. Составляем модуль разности : <tex>|f(x) - A| = </tex>
 
Надо доказать, что <tex>\lim \limits_{x \to a} f(x) = A</tex>. Составляем модуль разности : <tex>|f(x) - A| = </tex>
Строка 58: Строка 57:
 
числа слагаемых, поэтому по арифметике пределов :
 
числа слагаемых, поэтому по арифметике пределов :
 
<tex>\lim \limits_{x \to a} S_{n_0}(x) = S_{n_0}</tex>. Значит, для уже существующего
 
<tex>\lim \limits_{x \to a} S_{n_0}(x) = S_{n_0}</tex>. Значит, для уже существующего
<tex>\varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| < \varepsilon</tex>. Финально получаем :  
+
<tex>\varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - x| < \delta \Rightarrow |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| < \varepsilon</tex>. Финально получаем :  
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < 3\varepsilon</tex>.
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < 3\varepsilon</tex>.
 
Поэтому по определению предела все установлено.
 
Поэтому по определению предела все установлено.
Строка 115: Строка 114:
  
 
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 :
 
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 :
\operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0}, \tau) < \varepsilon \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь  
+
\operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0} < \varepsilon) \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь  
 
<tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex> \operatorname{rang} \tau \to 0</tex>.  
 
<tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex> \operatorname{rang} \tau \to 0</tex>.  
  
Строка 145: Строка 144:
 
}}
 
}}
  
==Пункт 3. Коммутируемость суммы и дифференцирования. ==
+
==Пункт 3. Коммутируемость суммы и дифференциирования. ==
  
 
Здесь будут установлены условия, при которых можно записать : <tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
 
Здесь будут установлены условия, при которых можно записать : <tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть на <tex> \langle a, b\rangle </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.
+
Пусть на <tex> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex>\forall c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.
 
Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и
 
Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и
 
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :
 
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :
Строка 159: Строка 158:
 
Пусть <tex>g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.  
 
Пусть <tex>g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.  
  
Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex> непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle </tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде:
+
Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex> непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle </tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде :
  
 
<tex> \int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt =  
 
<tex> \int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt =  
Строка 173: Строка 172:
 
}}
 
}}
  
[[Равномерная сходимость функционального ряда|<<]] [[Степенные ряды|>>]]
 
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: