Изменения
→Пункт 1
В силу сходимости ряда из пределов <tex>R_n \to 0</tex>, а в силу равномерной сходимости функционального ряда
<tex>R_n \stackrel{E}{\rightrightarrows} 0</tex>. Отсюда ясно, что
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \quad \forall x \in E \Rightarrow |R_n| < \varepsilon, \quad |R_n(x) < \varepsilon|</tex>.
Тогда из предыдущего неравенства, подставляя туда <tex>n_0 = N + 1</tex>,
получаем : <tex>|f(x) - A| \le |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| + 2\varepsilon</tex>. Первое слагамое справа состоит из конечного
числа слагаемых, поэтому по арифметике пределов :
<tex>\lim \limits_{x \to a} S_{n_0}(x) = S_{n_0}</tex>. Значит, для уже существующего
<tex>\varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - x| < \delta \Rightarrow |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| < \varepsilon</tex>. Финально получаем : <tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < 3\varepsilon</tex>.
Поэтому по определению предела все установлено.
}}
