1679
правок
Изменения
м
→Пункт 1. Коммутируемость суммы и предельного перехода
{{Теорема
|statement=Пусть на множестве <tex>E</tex> заданы функции <tex>f_n</tex>, <tex>аa</tex> {{---}} предельная точка этого множества и <tex>\forall n \in \mathbb{N} \exists \lim \limits_{x \to a} f_n(a)</tex> , тогда . Тогда если <tex>\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n</tex> - равномерно
сходится на <tex>E</tex>, то выполняется равенство :
<tex>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim_{x \to a} f_n(x)</tex>
|proof=Пусть <tex>A_n = \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Прежде всего установим, что <tex>\sum \limits_{n = 1}^{\infty} A_n < + \infty</tex>.
Так как функциональный ряд сходится равномерно, то по критерию Коши равномерной сходимости:
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall m \ge n > N \quad \forall x \in E \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} f_k(x)| \le \varepsilon</tex>.
