42
правки
Изменения
м
→Пункт 3. Коммутируемость суммы и дифференциирования.
[[Равномерная сходимость функционального ряда|<<]] [[Степенные ряды|>>]]
__TOC__
<tex>f(x) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)</tex>, <tex>A = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} A_k</tex>,
<tex>f(x) = S_n(x) + R_n(x)</tex> , где <tex>R_n(x) = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}f_k(x) </tex>
Аналогично : <tex>A = S_n + R_n</tex>, где <tex>R_n = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}A_k </tex>
Надо доказать, что <tex>\lim \limits_{x \to a} f(x) = A</tex>. Составляем модуль разности : <tex>|f(x) - A| = </tex>
числа слагаемых, поэтому по арифметике пределов :
<tex>\lim \limits_{x \to a} S_{n_0}(x) = S_{n_0}</tex>. Значит, для уже существующего
<tex>\varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - xa| < \delta \Rightarrow |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| < \varepsilon</tex>. Финально получаем :
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < 3\varepsilon</tex>.
Поэтому по определению предела все установлено.
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 :
\operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0} , \tau) < \varepsilon) \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь
<tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex> \operatorname{rang} \tau \to 0</tex>.
}}
==Пункт 3. Коммутируемость суммы и дифференциированиядифференцирования. ==
Здесь будут установлены условия, при которых можно записать : <tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
{{Теорема
|statement=
Пусть на <tex> (\langle a, b) \rangle </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.
Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :
Пусть <tex>g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.
Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex> непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle </tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде :
<tex> \int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt =
}}
[[Равномерная сходимость функционального ряда|<<]] [[Степенные ряды|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
