Изменения
Нет описания правки
|proof=Пусть <tex>A_n = \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Прежде всего установим, что <tex>\sum \limits_{n = 1}^{\infty} A_n < + \infty</tex>.
Так как функциональный ряд сходится равномерно, то по критерию Коши равномерной сходимости:
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall m \ge n > N \quad \forall x \in E \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} f_k(x)| \le \varepsilon</tex>.
Так как написанное неравенство выполняется для <tex>\forall x</tex>, а под знаком модуля стоит
конечное число слагаемых, то по арифметике пределов можно перейти к пределу при
Поэтому по определению предела все установлено.
}}
== Пункт 2 ==
В этом пункте будет приведено условие при котором можно записать :
<tex>
\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx</tex>
Заметим, что для суммы конечного числа слагаемых это утверждение верно по линейности интеграла.
{{Теорема
|statement= <tex>f_{n} \stackrel{[a, b]}{\rightrightarrows} f, f_{n} \in \mathcal{R}\left [a,b \right ] \Rightarrow
f \in \mathcal{R}\left [a,b \right ] и \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f </tex>
|proof=
1) Прежде всего установим интегрируемость <tex>f</tex>. Для этого необходимо проверить
<tex>w(f, \tau) \longrightarrow 0</tex> при <tex>rang \tau \to 0</tex>
По определению, <tex>w(g, [c, d]) = \sup\limits_{x',x'' \in [c,d]} |g(x'') - g(x')|</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \quad \forall x \in [a, b] \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex> , что следует из равномерной сходимости.
<tex>\forall \tau : a = x_0 < x_1 < ... < x_p = b \quad \forall x', x'' \in [x_k, x_{k+1}] \quad |f(x'') - f(x')| <= |f_n(x'') - f_n(x')| + |f_n(x'')-f(x'')| + |f_n(x')-f(x')| \quad \forall n > N</tex>
В этом случае по выбору <tex>N</tex>, можно написать :
<tex>|f(x'')-f(x')| <= |f_n(x'')-f_n(x')| + 2\varepsilon</tex>
<tex>|f_n(x'')-f_n(x')| <= w(f_n, [x_k, x_{k+1}])</tex>
<tex>f(x'')-f(x') <= w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>
В этом неравенстве справа число, переменная есть только слева, поэтому можно перейти к <tex>\sup</tex> по <tex>x', x''</tex>, что
приводит к неравенству :
<tex>w(f, [x_k, x_{k+1}]) <= w(f_n, [x_k, x_{k+1}]) + 2\varepsilon</tex>. Это неравенство верно для любого текущего отрезка, лишь бы
выполнялось, что <tex>n > N</tex>. Домножим каждое на <tex>\Delta x_k</tex> и сложим :
<tex>w(f, \tau) <= w(f_{n}, \tau) + 2\varepsilon \sum\limits_{k = 1}^{n - 1}\Delta x_k =
w(f, \tau) <= w(f_{n}, \tau) + 2\varepsilon(b-a)</tex>
Подставив в это неравенство <tex>n_0 = N+1</tex>, получим :
<tex>w(f, \tau) <= w(f_{n_0}, \tau) + 2(b -a)\varepsilon</tex>, функция <tex>f_{n_0} \in \mathcal{R}\left( a, b \right)</tex>.
Неравенство выполняется для любого <tex>\tau</tex>, значит для уже существующего <tex>\varepsilon ~~ \exists \delta > 0 :
rang \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0} < \varepsilon) \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь
<tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>rang \tau \to 0</tex>. Значит,
<tex>f \in \mathcal{R}\left ( a, b \right)</tex>
2) В силу <tex>f_{n} \stackrel{[a, b]}{\rightrightarrows} f \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N
и \forall x \in [a, b] \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
Все функции интегрируемы, в силу этого можно писать следующее :
<tex>|\int\limits_{a}^{b} f_n - \int\limits_{a}^{b} f| = |\int\limits{a}^{b} (f_n - f)| <= \int\limits_{a}^{b} |f_n - f| <=
(b-a)\varepsilon</tex>
Таким образом, <tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N : \forall n > N \Rightarrow |\int\limits_{a}^{b} f_n - \int\limits_{a}^{b} f| <= (b -a)\varepsilon</tex>.
По определению предела приходим к нужному.
}}
{{Утверждение
|statement =
Пусть функциональный ряд состоит из <tex>f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ]</tex> и равномерно сходится на
этом отрезке, тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией.
<tex>\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx</tex>
|proof =
Для доказательства в качестве <tex>f_n</tex> в теореме необходимо использовать частичные суммы функционального ряда.
}}
==Пункт 3==
