Определение булевой функции

Материал из Викиконспекты
Версия от 20:44, 25 сентября 2010; Андрей Васин (обсуждение | вклад) (→‎Основные сведения)
Перейти к: навигация, поиск

Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики) от n переменных — в дискретной математике отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества 1 и 0 обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определенного смысла.Элементы декартова произведения Bn называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа переменных часто обозначается P2, а от n переменных — P2(n). Булевы функции названы так по фамилии математика Джорджа Буля.

Основные сведения

Каждая булева функция арности n полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех булевых векторах длины n. Число таких векторов равно 2n. Поскольку на каждом векторе булева функция может принимать значение либо 0, либо 1, то количество всех n-арных булевых функций равно 22n. Поэтому в этом разделе рассматриваются только простейшие и важнейшие булевы функции. То, что каждая булева функция задаётся конечным массивом данных, позволяет представлять их в виде таблиц. Такие таблицы носят название таблиц истинности и в общем случае имеют вид:

x1 x2 … xn f(x1,x2,…,xn)
0 0 … 0 f(0,0,…,0)
1 0 … 0 f(1,0,…,0)
0 1 … 0 f(0,1,…,0)
1 1 … 0 f(1,1,…,0)
[math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math]
0 1 … 1 f(0,1,…,1)
1 1 … 1 f(1,1,…,1)

Практически все булевы функции малых арностей (0, 1, 2 и 3) сложились исторически и имеют конкретные имена. Если значение функции не зависит от одной из переменных (то есть строго говоря для любых двух булевых векторов, отличающихся лишь в значении этой переменной, значение функции на них совпадает), то эта переменная называется фиктивной.

Нульарные функции

При n = 0 количество булевых функций сводится к двум 220 = 21 = 2, первая из них тождественно равна 0, а вторая 1. Их называют булевыми константами — тождественный нуль и тождественная единица.

Унарные функции

При n = 1 число булевых функций равно 221 = 22 = 4. Определение этих функций содержится в следующей таблице.

Таблица значений булевых функций от одной переменной:

x 0 x̅ x 1
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1

Названия булевых функций от одной переменной:

Обозначение Название
0 тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное "НЕТ"
x̅, ¬x, x' отрицание, логическое "НЕТ", "НЕ", "НИ", "NOT"(англ.), "NO"(англ.)
x тождественная функция, логическое "ДА", "YES"(англ.)
1 тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА", тавтология

Бинарные функции

При n = 2 число булевых функций равно 22² = 24 = 16.

Таблица значений булевых функций от двух переменных:

x y 0 x↓y [math]\neg[/math](x←y) x̅ [math]\neg[/math](x→y) y̅ x⊕y x|y x & y x ≡ y y x→y x x←y x ∨ y 1
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Названия булевых функций от двух переменных:

Обозначение Название
0 тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное "НЕТ"
x ↓ y, x ИЛИ-НЕ y, ИЛИ-НЕ(x,y), x NOR y, NOR(x,y) НЕ- 2ИЛИ, 2ИЛИ-НЕ, антидизъюнкция, функция Да́ггера, функция Ве́бба, стрелка Пи́рса
x < y, [math]\neg[/math](x ← y), x LT y, LT(x,y) меньше, инверсия обратной импликации]
x̅, НЕ1(x,y), NOT1(x,y), x', ¬x отрицание (негация, инверсия) первого операнда
x > y, [math]\neg[/math](x → y), x GT y, GT(x,y) больше, инверсия прямой импликации
y̅, НЕ2(x,y), NOT2(x,y), y', ¬y отрицание (негация, инверсия) второго операнда
x ⊕ y, x +2 y, x ≠ y, x >< y, x <> y, x XOR y, XOR(x,y) сложение по модулю 2, не равно, , исключающее «или»
x | y, x NAND y, NAND(x,y), x И-НЕ y, И-НЕ(x,y) НЕ-2И, 2И-НЕ, антиконъюнкция, Штрих Шеффера
x & y, x · y, xy, x ∧ y, x AND y, AND(x,y), x И y, И(x,y), min(x,y) 2И, конъюнкция
x ≡ y, x = y, x EQV y, EQV(x,y), x ~ y, x ↔ y равенство, эквивалентность
y, ДА2(x,y), YES2(x,y) второй операнд
x → y, x ≤ y, x ⊃ y, x LE y, LE(x,y) меньше или равно, прямая (материальная) импликация (от первого аргумента ко второму)
x, ДА1(x,y), YES1(x,y) первый операнд
x ← y, x ≥ y, x ⊂ y, x GE y, GE(x,y) больше или равно, обратная импликация (от второго аргумента к первому)
x ∨ y, x + y, x ИЛИ y, ИЛИ(x,y), x OR y, OR(x,y), max(x,y) 2ИЛИ, дизъюнкция
1 тождественная единица, тождественная истина, тождественное "ДА", тавтология

Тернарные функции

При n = 3 число булевых функций равно 22³ = 28 = 256. Некоторые из них определены в следующей таблице:

x y z x↓y↓z [math]\neg[/math](≥2(x,y,z)) x≠y≠z x|y|z min(x,y,z) x=y=z x⊕y⊕z ≥2(x,y,z) f1 f2 max(x,y,z)
0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

Названия булевых функций трех переменных:

Обозначения Названия
x[math]\downarrow[/math]y[math]\downarrow[/math]z = [math]\downarrow[/math](x,y,z) = Webb2(x,y,z) 3-ИЛИ-НЕ, функция Вебба, функция Даггера, стрелка Пирса
[math]\neg[/math](> = 2(x,y,z)) Переключатель по большинству с инверсией, 3-ППБ-НЕ, мажоритарный клапан с инверсией
x≠y≠z = [≠(x,y,z)] = NE(x,y,z,v) Неравенство
x[math]\mid[/math]y[math]\mid[/math]z = [math]\mid[/math](x,y,z) 3-И-НЕ, штрих Шеффера
x&y&z = &(x,y,z) = (x AND y AND z) = AND(x,y,z) = (x И y И z) = И(x,y,z) = min(x,y,z) 3-И, минимум
(x=y=z) = [=(x,y,z)] = EQV(x,y,z,v) Равенство
x⊕2y⊕2z = x+2y+2z = ⊕2(x,y,z) = +2(x,y,z) Тернарное сложение по модулю 2
[>=2(x,y,z)] = (x И y) ИЛИ (y И z) ИЛИ (z И x) переключатель по большинству, 3-ППБ, мажоритарный клапан
f1 Разряд займа при тернарном вычитании
f2 Разряд переноса при тернарном сложении
(x+y+z) = +(x,y,z) = max(x,y,z) = (x OR y OR z) = OR(x,y,z) = (x ИЛИ y ИЛИ z) = ИЛИ(x,y,z) 3-ИЛИ, максимум

Полные системы булевых функций

Тождественность и двойственность

Две булевы функции тождественны друг другу, если на любых одинаковых наборах аргументов они принимают равные значения. Тождественность функций f и g можно записать, например, так:
[math]f(x_1, x_2, \dots, x_n)=g(x_1, x_2, \dots, x_n)[/math]

Просмотрев таблицы истинности булевых функций, легко получить такие тождества:

[math]\overline{0}=1[/math] [math]\overline{1}=0[/math] [math]\overline{\overline{x}}=x[/math] [math]xy=yx\![/math] [math]x\lor y=y \lor x[/math]
[math]0x=0\![/math] [math]1x=x\![/math] [math]0\lor x=x[/math] [math]1\lor x=1[/math] [math]xx=x\lor x=x[/math]

А проверка таблиц, построенных для некоторых суперпозиций, даст следующие результаты:

[math]x\overline{x}=0[/math] [math]x\lor\overline{x}=1[/math]
[math]\overline{x\cdot y}=\overline{x}\lor\overline{y}[/math] [math]\overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{x\lor y}[/math] (законы де Моргана)

[math]x(y\lor z)=xy\lor xz[/math]
[math]x\lor yz=(x\lor y)(x\lor z)[/math] (дистрибутивность конъюнкции и дизъюнкции)


Функция [math]g(x_1,x_2,\dots,x_n)[/math] называется двойственной функции [math]f(x_1,x_2,\dots,x_n)[/math], если [math]f(\overline{x_1},\overline{x_2},\dots,\overline{x_n})=\overline{g(x_1,x_2,\dots,x_n)}[/math]. Легко показать, что в этом равенстве f и g можно поменять местами, то есть функции f и g двойственны друг другу. Из простейших функций двойственны друг другу константы 0 и 1, а из законов де Моргана следует двойственность конъюнкции и дизъюнкции. Тождественная функция, как и функция отрицания, двойственна сама себе.

Если в булевом тождестве заменить каждую функцию на двойственную ей, снова получится верное тождество. В приведённых выше формулах легко найти двойственные друг другу пары.

Полнота системы, критерий Поста

Система булевых функций называется полной, если можно построить их суперпозицию, тождественную любой другой заранее заданной функции. Говорят ещё, что замыкание данной системы совпадает с множеством [math]P_2[/math].

Американский математик Эмиль Пост ввёл в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:

  • Функции, сохраняющие константу [math]T_0[/math] и [math]T_1[/math];
  • Самодвойственные функции [math]S[/math];
  • Монотонные функции [math]M[/math];
  • Линейные функции [math]L[/math].

Им было доказано, что любой замкнутый класс булевых функций, не совпадающий с [math]P_2[/math], целиком содержится в одном из этих пяти так называемых предполных классов, но при этом ни один из пяти не содержится целиком в объединении четырёх других. Таким образом критерий Поста для полноты системы сводится к выяснению, не содержится ли вся эта система целиком в одном из предполных классов. Если для каждого класса в системе найдётся функция, не входящая в него, то такая система будет полной, и с помощью входящих в неё функций можно будет получить любую другую булеву функцию.

Заметим, что существуют функции, не входящие ни в один из классов Поста. Любая такая функция сама по себе образует полную систему. В качестве примеров можно назвать штрих Шеффера или стрелку Пирса.

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Определение_булевой_функции&oldid=2832»