Изменения
Нет описания правки
Будем рассматривать пространство <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, считаем, что мера <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-конечная, полная, то есть:
{{Определение
|definition=
<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется '''измеримой по Лебегу''', если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат [[Полукольца и алгебры#Алгебра|сигма-алгебре]]).
}}
Измеримость по Лебегу
|statement=
Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \Leftrightarrow iff </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
|proof=
Пусть <tex> E(f < a) </tex> — измеримо для любого <tex> a </tex>. Установим измеримость остальных:
|proof=Установим измеримость <tex>F(f\leq a)</tex>.
Проверим, что оно замкнуто <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
Рассмотрим последовательность <tex>\bar x_j \in F(f\leq a)</tex>, пусть она сходится к <tex> \bar x </tex>. По определению множества Лебега, <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex>.
Так как <tex> F </tex> — замкнутое, и <tex>\bar x_j \in F</tex>, то предел тоже принадлежит <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)</tex>.
Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей <tex>\Rightarrow</tex> , то есть замкнуто. Но , как было установлено ранее, замкнутые множества измеримы по Лебегу.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> измеримы на <tex>E</tex>. Тогда
1) <tex>|f|</tex> {{---}} измерима измерим <br>1.5) <tex>afkf</tex> {{---}} измеримо измерима (<tex>a k \in \mathbb{R}</tex>) <br>2) <tex>f^2</tex> {{---}} измеримо измерим <br>3) <tex>f + g</tex> {{---}} измеримо измерима <br>
4) <tex>f \cdot g</tex> {{---}} измеримо <br>
|proof=
Это пересечение двух измеримых множеств Лебега <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
1.5) Если <tex> k = 0 </tex> , то <tex> f = 0 </tex> и она измерима как постоянная.
Если <tex> k > 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f > \frac{a}{k}) </tex>, если же <tex> k < 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f < \frac{a}{k}) </tex>. Так как <tex> f </tex> — измеримо, эти множества Лебега тоже измеримы.
3) Доказывается чуть сложнее
Тогда <tex>E(f + g>a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g>r) \cap E(f > a - r))</tex>
Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, операций — счётное число. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо.
4) Вытекает из прошлых: <tex>f \cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>
}}
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Предельный переход в классе измеримых функций|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
