Определение интеграла Римана, простейшие свойства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "140">\tau:a=x_0<x_1<...<x_n=b</tex> (<tex>\tau</tex> называется разбиением <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). <tex dpi = "140">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> называется длиной текущего отрезка разбиения.
+
Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "140"> \tau : a = x_0 < x_1 < \hdots < x_n = b </tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением'' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). <tex dpi = "140">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> обозначим как длину текущего отрезка разбиения.
  
<tex>rang~ \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex><br>
+
<tex>rang~ \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex>
<tex dpi = "140">\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}</tex><br>
+
 
<tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> называется интегральной суммой Римана по разбиению <tex>\tau</tex>.<br>
+
<tex dpi = "140">\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]\ \ \ ~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}</tex>
<tex dpi = "140">I=$$\lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon >0~\exists \delta >0: rang~ \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex>
+
 
 +
<tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> ''называется интегральной суммой Римана'' по разбиению <tex>\tau</tex>.
 +
 
 +
<tex dpi = "140">I=$$ \lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon >0~\exists \delta >0: rang~ \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex>
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 16: Строка 19:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex>f \mathcal {2} R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> ограничена.
+
Если <tex>f \in R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} ограничена.
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>. Делим <tex>\left [ a,b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma </tex> и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex> и варьируем <tex dpi = "140">\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.
 
Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>. Делим <tex>\left [ a,b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma </tex> и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex> и варьируем <tex dpi = "140">\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.

Версия 17:11, 29 ноября 2010

Эта статья находится в разработке!

Пусть есть отрезок [math]\left [ a,b \right ][/math] и некоторое [math] \tau : a = x_0 \lt x_1 \lt \hdots \lt x_n = b [/math] ([math]\tau[/math] называется разбиением отрезка [math]\left [ a,b \right ][/math]). [math]\Delta_k=x_{k+1}-x_k[/math] обозначим как длину текущего отрезка разбиения.

[math]rang~ \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}[/math]

[math]\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]\ \ \ ~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}[/math]

[math]\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )[/math] (также обозначается как [math]\sigma \left ( f, \tau \right )[/math] или [math]\sigma \left ( \tau \right )[/math]) [math]~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}[/math] [math]f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}[/math] называется интегральной суммой Римана по разбиению [math]\tau[/math].

[math]I=$$ \lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon \gt 0~\exists \delta \gt 0: rang~ \tau\lt \delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | \lt \varepsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )[/math]


Определение:
Определённым интегралом Римана функции [math]f[/math] называется предел её интегральных сумм, коротко записывается как [math]\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f[/math]


Факт существования интеграла функции [math]f[/math] обозначается как [math]f \in R\left ( a,b \right )[/math]

Утверждение:
Если [math]f \in R\left ( a,b \right )[/math], то [math]f[/math] — ограничена.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1[/math]. Делим [math]\left [ a,b \right ][/math] на [math]n[/math] разных частей, так, чтобы [math]\frac{b-a}{n}\lt \sigma [/math] и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков [math]x_n[/math] берём один из них: [math]\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ][/math] и варьируем [math]\overline{x_{k_0}}[/math] в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.

[math]I-1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}\lt f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}\lt I+1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot \Delta_{k}[/math]. Разделим на [math] \Delta_{k_0}: \left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}[/math] на [math]\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ][/math]. Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.
[math]\triangleleft[/math]