Изменения

{{В разработке}}Определение|definition=Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "140">\tau:a=x_0<x_1<...\dots <x_n=b</tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением '' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). }} {{Определение|definition=<tex dpi = "140">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> называется длиной длина текущего отрезка разбиения.}} {{Определение|definition=<tex>\operatorname{rang} \tau = \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex>}} {{Определение|definition=Пусть <tex>\overline{x_k}</tex> {{---}} произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>f</tex> {{---}} функция, заданная на отрезке <tex>[a; b]</tex>, <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex>(также обозначается как <tex>\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>)<tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex>называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>.}}

<tex>rang~ \tau \stackrel{\mathrm{def}}{I=} \max \left lim\limits_{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_operatorname{n-1rang} \right \}</tex><br><tex dpi = "140">\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>~f\colon { \left [ a,b \right ]} tau\to {\mathbb {R}0}</tex><br><tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "140">\sigma stackrel{\left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_mathrm{k=0def}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{kiff}</tex> называется интегральной суммой Римана по разбиению <tex>\tau</texforall \varepsilon >.<br><tex dpi = "140">I=$$0\lim\limits_{rang~ exists \tau\to delta >0} \sigma \left ( f, forall \tau : \right )$$\stackreloperatorname{\mathrm{def}rang}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon >0~\exists \delta >0: rang~ \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \epsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )varepsilon</tex>

Определённым интегралом Римана [[Отображения|функции ]] <tex>f</tex> называется [[Предел последовательности|предел ]] её интегральных сумм, коротко записывается как <tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f</tex>

Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \in \mathcal{R}\left ( a,b \right )</tex>

Если <tex>f \in \mathcal {2} R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> — {{---}} ограничена.

<tex>\triangleright</tex> Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\epsilonvarepsilon=1</tex>. Делим <tex>\left [ a,b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma delta </tex> и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex> и варьируем <tex dpi = "140">\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.<tex>I-1-\sum\limits_{k=0,k\neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}<f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}<I+1-\sum\limits_{k=0,k\neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}</tex>. Разделим на <tex>\Delta_{k_0}</tex>: <tex>\left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}</tex> на <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>. Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.