Изменения

{{В разработке}}Определение|definition=Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "140"> \tau : a = x_0 < x_1 < \hdots dots < x_n = b </tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением'' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). <tex dpi = "140">\Delta_k=x_{k+1}}-x_k</tex> обозначим как длину текущего отрезка разбиения.

{{Определение|definition=<tex>rang~ \tau \stackrel{\mathrm{def}}{Delta_k=} \max \left \x_{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-k+1} \right \}-x_k</tex>длина текущего отрезка разбиения.}}

{{Определение|definition=<tex>\operatorname{rang} \tau = \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex dpi >}} {{Определение|definition= "140"Пусть <tex>\overline{x_k} \mathcal </tex> {{2---} } произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]\ \ \ ~</tex>, <tex>f\colon </tex> {{ \left ---}} функция, заданная на отрезке <tex>[ a,; b \right ]} </tex>, <tex>\to tau</tex> {\mathbb {R---}}разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>.

Тогда <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>.}}

<tex dpi = "140">I=$$ \lim\limits_{\operatorname{rang~ } \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$</tex> <tex>\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrowiff}</tex> <tex>\forall \epsilon varepsilon >0~\ \exists \delta >0\ \forall \tau : \operatorname{rang~ } \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex>

Определённым интегралом Римана [[Отображения|функции ]] <tex>f</tex> называется [[Предел последовательности|предел ]] её интегральных сумм, коротко записывается как <tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f</tex>

Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \in \mathcal{R}\left ( a,b \right )</tex>

Если <tex>f \in \mathcal R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} ограничена.

Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>.Делим <tex>\left [ a, b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma delta </tex> и фиксируем такое разбиение.

и варьируем <tex dpi = "140">\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно;