Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Множество [math]R[/math], на котором заданы бинарные операции сложение и умножение, с определенными свойствами, называется кольцом.

Свойства:

  • [math]\forall a,b \in R: a+b=b+a[/math] - коммутативность по сложению.
  • [math]\forall a,b,c \in R: a+(b+c)=(a+b)+c[/math] - ассоциотивность по сложению.
  • [math]\exists 0 \in R: a+0=0+a=a[/math] - существование нейтрального элемента по сложению.
  • [math]\forall a \in R\; \exists b \in R:a+b=b+a=0[/math] — существование обратного элемента относительно сложения;
  • [math]\forall a,b,c \in R:(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)[/math] — ассоциативность по умножению
  • [math]\forall a,b,c \in R[/math]


Подкольцо[править]

Определение:
Множество [math]A \subset R[/math], которое определено относительно операций, определенных в [math]R[/math] называестя подкольцом.


Изоморфизм колец[править]

Теорема[править]

Пусть [math]R[/math] и [math]R'[/math] - множества, в каждом из которых определены операции сложения и умножения. Пусть [math]R[/math] изоморфно [math]R'[/math]. Тогда, если [math]R[/math] кольцо, то и [math]R'[/math] кольцо. Доказательство.
Нужно убедится,что если выполняются аксиомы кольца для [math]R[/math], то они выполняяютсяи для [math]R'[/math]. Докажем аксиому об существовании обратного элемента относительно сложения, остальное аналогично. Пусть [math]a' \in R'[/math], а [math]a[/math] его прообраз в [math]R[/math], тогда по аксиоме об существовании обратного элемента относительно сложения [math]\exists b: a+b=0[/math]. По изоморфизму [math]\exists b': b \rightarrow b'[/math], а также [math]a'+b'=0'[/math], значит в [math]R'[/math] также выполняется эта аксиома.

Примеры колец[править]

  • [math]\mathbb{Z}[/math] — целые числа.
  • [math]\mathbb{Z}_n[/math] — кольцо вычетов по модулю натурального числа [math]n[/math].
  • [math]\mathbb{Q}[/math] — кольцо рациональных чисел, являющееся полем.
  • [math]\mathbb{R}[/math] — кольцо вещественных чисел, являющееся полем.
  • [math]\mathbb{R}[x_1,x_2,...,x_n][/math] — кольцо многочленов от [math]n[/math] переменных над полем [math]\mathbb{R}[/math].