Определение поля и подполя, изоморфизмы полей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 5 промежуточных версий 2 участников)
Строка 36: Строка 36:
 
<tex>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</tex> — характеристику 0 <br />
 
<tex>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</tex> — характеристику 0 <br />
  
== Теорема ==
+
{{Теорема
<tex> char\; F</tex> либо 0, либо простое число:
+
|statement=<tex> char\; F</tex> либо 0, либо простое число:
<tex>\left [ \begin{aligned} char\; F = 0\\ char\; F \in \mathbb{P} \end{aligned} \right .</tex><br />
+
<tex>\left [ \begin{aligned} char\; F = 0\\ char\; F \in \mathbb{P} \end{aligned} \right .</tex><br />
<tex>\triangleright</tex> <tex>(n \cdot m) \cdot 1 = 0</tex> <br />
+
|proof=<tex>(n \cdot m) \cdot 1 = 0</tex> <br />
<tex> (n \cdot 1) \cdot (m \cdot 1) = 0 \Rightarrow \left [ \begin{aligned} n \cdot 1 = 0 \\ m \cdot 1 = 0\end{aligned} \right . \Rightarrow</tex> характеристика <tex>\ne n \cdot m</tex> — противоречие с минимальностью <tex> char\; F \triangleleft</tex>
+
<tex> (n \cdot 1) \cdot (m \cdot 1) = 0 \Rightarrow \left [ \begin{aligned} n \cdot 1 = 0 \\ m \cdot 1 = 0\end{aligned} \right . \Rightarrow</tex> характеристика <tex>\ne n \cdot m</tex> — противоречие с минимальностью <tex> char\; F </tex>
 
+
}}
 
Подполе - некоторое поле <tex> K \subset F </tex>, замкнутое относительно сложения и умножения:
 
Подполе - некоторое поле <tex> K \subset F </tex>, замкнутое относительно сложения и умножения:
 
# <tex>0,1 \in K</tex>
 
# <tex>0,1 \in K</tex>
Строка 53: Строка 53:
 
<tex>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)</tex> - подполе <tex>\Rightarrow \mathbb{Q}(x)</tex> - не простое поле.
 
<tex>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)</tex> - подполе <tex>\Rightarrow \mathbb{Q}(x)</tex> - не простое поле.
  
== Определение ==
+
{{Определение
Два поля называются одинаковыми, если существует биекция из одного поля в другое, сохраняющая операции сложения и <br />
+
|definition=
умножения. <br />
+
Два поля называются одинаковыми, если существует биекция из одного поля в другое, сохраняющая операции сложения и умножения. <tex>K \cong F \Leftrightarrow \exists \varphi \colon K \to F; \varphi (a + b) = \varphi (a) + \varphi (b); \varphi (a b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b) </tex>
<tex>K \cong F \Leftrightarrow \exists \varphi \colon K \to F; \varphi (a + b) = \varphi (a) + \varphi (b); \varphi (a b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b) </tex>
+
}}
  
 +
{{Утверждение
 +
|statement=<br />
 
# <tex>char\; F = 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Q}</tex><br />F - простое
 
# <tex>char\; F = 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Q}</tex><br />F - простое
 
# <tex>char\; F \ne 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Z}_P</tex><br />F - простое
 
# <tex>char\; F \ne 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Z}_P</tex><br />F - простое
 
+
|proof=<br />
<tex>\triangleright</tex>
 
 
# <tex> char \; F = 0 \Rightarrow </tex> суммы все различны; <tex>n \cdot 1 \ne 0, n \ne 0</tex><br /><tex>\frac{n}{m}\cdot1=\frac{n\cdot1}{m\cdot1}</tex><br /><tex>\frac{kn \cdot 1}{km \cdot 1} = \frac{(k \cdot 1) \cdot (n \cdot 1)}{(k \cdot 1) \cdot (m \cdot 1)} = \frac{n \cdot 1}{m \cdot 1}</tex><br /><tex>q \cdot 1 \ne 0, q \ne 0 \Rightarrow </tex>построенное поле <tex>\cong \mathbb{Q}</tex>
 
# <tex> char \; F = 0 \Rightarrow </tex> суммы все различны; <tex>n \cdot 1 \ne 0, n \ne 0</tex><br /><tex>\frac{n}{m}\cdot1=\frac{n\cdot1}{m\cdot1}</tex><br /><tex>\frac{kn \cdot 1}{km \cdot 1} = \frac{(k \cdot 1) \cdot (n \cdot 1)}{(k \cdot 1) \cdot (m \cdot 1)} = \frac{n \cdot 1}{m \cdot 1}</tex><br /><tex>q \cdot 1 \ne 0, q \ne 0 \Rightarrow </tex>построенное поле <tex>\cong \mathbb{Q}</tex>
 
# <tex> char \; F = p \qquad n \cdot 1 = m \cdot 1 \Leftrightarrow n \equiv m (mod \;p) </tex>. Замкнуто относительно сложения и умножения <tex> \Rightarrow </tex> подполе <tex> \cong \mathbb{Z}_p </tex><br /><tex> K \subset F </tex>, F - вектор-пространство надо полем K. (F - вектора, K - скалярные величины). <br /> <tex> V_1 + V_2 \in F; K \cdot V_1 \in F \Rightarrow </tex> получаем векторное пространство. <br /><tex>[F:K]</tex> - размерность поля F над полем K.
 
# <tex> char \; F = p \qquad n \cdot 1 = m \cdot 1 \Leftrightarrow n \equiv m (mod \;p) </tex>. Замкнуто относительно сложения и умножения <tex> \Rightarrow </tex> подполе <tex> \cong \mathbb{Z}_p </tex><br /><tex> K \subset F </tex>, F - вектор-пространство надо полем K. (F - вектора, K - скалярные величины). <br /> <tex> V_1 + V_2 \in F; K \cdot V_1 \in F \Rightarrow </tex> получаем векторное пространство. <br /><tex>[F:K]</tex> - размерность поля F над полем K.
<tex> \triangleleft </tex>
+
}}
 +
 
 +
== Ссылки ==
 +
* [http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/lecture/lect-3.pdf Арифметика полиномов]
 +
* [http://ium.mccme.ru/postscript/s11/alg2_07.pdf Расширение полей]
 +
[[Категория: Поля]]

Текущая версия на 09:15, 12 мая 2014

Эта статья находится в разработке!
Определение:
Расширим понятие кольца: введём обратный элемент [math](F, *, +)[/math] — получим поле
  1. абелево по [math]+[/math]
  2. [math]F\setminus\{0\}[/math] — абелево по [math]*[/math]
  3. дистрибутивно


Примеры:

  • Поля: [math]\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}_n^*[/math]
  • [math]\mathbb{Q}(x)=\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p,q \in \mathbb{Q}[x]\}[/math]
  • [math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}\mid a,b \in \mathbb{Q}\}[/math]

Мультипликативная группа поля состоит из ненулевых элементов по умножению.

[math]1 \in F[/math]

[math]n \cdot 1[/math] — обозначение суммы [math] n \cdot 1 = m \cdot 1 \Rightarrow (n-m) \cdot 1 = 0 [/math]

Все разные [math]\begin{cases} 1 \\ 1 + 1 \\ 1 + 1 + 1 \\ \vdots \end{cases} \begin{aligned} \nearrow \exists n : n \cdot 1 = 0 \\ \searrow \nexists n : n \cdot 1 = 0 \end{aligned} [/math]

В первом случае наименьшее такое n называется характеристикой поля и обозначается [math]char\; F[/math]. Во втором случае характеристика поля полагается равной 0.

[math]\mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{R} [/math] имеют характеристику 0
[math]\mathbb{Z}_p[/math] имеет характеристику p
[math]\mathbb{Q}(x)[/math] имеет характеристику 0
[math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})[/math] — характеристику 0

Теорема:
[math] char\; F[/math] либо 0, либо простое число: [math]\left [ \begin{aligned} char\; F = 0\\ char\; F \in \mathbb{P} \end{aligned} \right .[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math](n \cdot m) \cdot 1 = 0[/math]

[math] (n \cdot 1) \cdot (m \cdot 1) = 0 \Rightarrow \left [ \begin{aligned} n \cdot 1 = 0 \\ m \cdot 1 = 0\end{aligned} \right . \Rightarrow[/math] характеристика [math]\ne n \cdot m[/math] — противоречие с минимальностью [math] char\; F [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Подполе - некоторое поле [math] K \subset F [/math], замкнутое относительно сложения и умножения:

  1. [math]0,1 \in K[/math]
  2. [math]a,b \in K \Rightarrow a+b \in K [/math]
  3. [math]a,b \in K \Rightarrow a*b \in K [/math]
  4. [math]a \in K \Rightarrow -a \in K [/math]
  5. [math]a \in K \Rightarrow a^{-1} \in K [/math]

[math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/math] - подполе.

Поле называется простым, если оно не содержит тривиальных подполей. [math]\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)[/math] - подполе [math]\Rightarrow \mathbb{Q}(x)[/math] - не простое поле.


Определение:
Два поля называются одинаковыми, если существует биекция из одного поля в другое, сохраняющая операции сложения и умножения. [math]K \cong F \Leftrightarrow \exists \varphi \colon K \to F; \varphi (a + b) = \varphi (a) + \varphi (b); \varphi (a b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b) [/math]


Утверждение:

  1. [math]char\; F = 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Q}[/math]
    F - простое
  2. [math]char\; F \ne 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Z}_P[/math]
    F - простое
[math]\triangleright[/math]


  1. [math] char \; F = 0 \Rightarrow [/math] суммы все различны; [math]n \cdot 1 \ne 0, n \ne 0[/math]
    [math]\frac{n}{m}\cdot1=\frac{n\cdot1}{m\cdot1}[/math]
    [math]\frac{kn \cdot 1}{km \cdot 1} = \frac{(k \cdot 1) \cdot (n \cdot 1)}{(k \cdot 1) \cdot (m \cdot 1)} = \frac{n \cdot 1}{m \cdot 1}[/math]
    [math]q \cdot 1 \ne 0, q \ne 0 \Rightarrow [/math]построенное поле [math]\cong \mathbb{Q}[/math]
  2. [math] char \; F = p \qquad n \cdot 1 = m \cdot 1 \Leftrightarrow n \equiv m (mod \;p) [/math]. Замкнуто относительно сложения и умножения [math] \Rightarrow [/math] подполе [math] \cong \mathbb{Z}_p [/math]
    [math] K \subset F [/math], F - вектор-пространство надо полем K. (F - вектора, K - скалярные величины).
    [math] V_1 + V_2 \in F; K \cdot V_1 \in F \Rightarrow [/math] получаем векторное пространство.
    [math][F:K][/math] - размерность поля F над полем K.
[math]\triangleleft[/math]

Ссылки[править]