Редактирование: Определение ряда Фурье

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
+
{{В разработке}}
  
 
== L_p ==
 
== L_p ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, [http://slovari.yandex.ru/~%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B8/%D0%91%D0%A1%D0%AD/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F суммируемых] с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.  
+
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>. То есть
  
То есть,
+
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>
<tex>L_p = \{ f \mid f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
 
  
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex>  называют '''тригонометрической системой функций'''.  
+
|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos nx,\ \sin nx, ... (n = 1, 2 ...)</tex>  называют '''тригонометрической системой функций'''.  
 
}}
 
}}
Каждая из этих функций ограниченная, <tex> 2\pi </tex>-периодическая, следовательно, все функции принадлежат <tex>L_p</tex>.
+
Каждая из этих функций ограниченная, <tex> 2\pi </tex>-периодическая, следовательно все функции принадлежат <tex>L_p</tex>.
  
Заметим, что, из-за <tex> 2\pi </tex>-периодичности, <tex> \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 </tex>.
+
Заметим, что <tex> \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 </tex>
  
{{Утверждение
+
{{TODO | t = проверить следующий абзац}}
|statement=
+
Также при <tex> n \ne m </tex> :
При <tex> n \ne m </tex> :
+
 
<tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\  \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>,
+
<tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\  \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>
<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\  \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>.
+
 
|proof=
+
<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\  \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как <tex> \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) </tex>.
 
}}
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:  
+
|definition = '''Тригонометрический ряд''': <tex>\frac{c_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^\infty (c_n * \cos nx + d_n \sin nx)</tex>. Если начиная с какого-то места <tex> c_n = d_n = 0 </tex> {{---}} '''тригонометрический полином'''.
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
 
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
 
 
}}
 
}}
  
'''Замечание''' (предел в пространстве <tex>L_1</tex>): если <tex>f_n, f \in L_1</tex>, то
+
'''Замечание''': если <tex>f_n, f \in L_1</tex>, то
 
<tex>
 
<tex>
 
f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n
 
f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n
 
\iff
 
\iff
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
+
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow{n \to \infty} 0
</tex>.
+
</tex>
 
 
 
 
 
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:
 
 
 
<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
 
|proof=
 
 
 
Формула для <tex> a_0 </tex> очевидна.
 
 
 
Пусть <tex> S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) </tex>.
 
 
 
По условию, <tex> \int\limits_{Q} | f(x) - S_n(x) | dx \rightarrow 0 </tex>. Зафиксируем некоторое натуральное <tex> p </tex>:
 
 
 
<tex> | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 </tex>.
 
 
 
Значит, <tex> \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 </tex>.
 
 
 
Если <tex> n > p </tex>, то <tex> \int\limits_{Q}  S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q}  a_p \cos^2 px dx = \pi a_p </tex>.
 
 
 
Значит, <tex> \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p </tex>.
 
 
 
Аналогично доказывается формула для <tex> b_p </tex>.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
 
}}
 
 
 
Колмогоров построил пример суммируемой <tex> 2\pi </tex>-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные <tex> L_p </tex>-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.
 
 
 
Карлесон доказал, что для функций из <tex> L_2 </tex> (а такие функции автоматически <tex>\in L_1</tex>) ряд Фурье сходится почти всюду.
 
 
 
Если функция является <tex> 2T </tex>-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет <tex> 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex>.
 
 
 
Пусть <tex> f(x) </tex> определена и суммируема на <tex> [0; a] </tex>. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:
 
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как четную функцию. Тогда <tex> a_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 </tex>, ряд Фурье выглядит как <tex> \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx </tex>.
 
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как нечетную функцию. В этом случае <tex> a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx </tex>, ряд Фурье имеет вид <tex> \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx </tex>.
 
# <tex> 2T = a </tex>, здесь присутствуют все члены ряда.
 
 
 
Итак, если <tex> f </tex> задана на <tex> [0; a] </tex>, то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.
 
 
 
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)