Определение ряда Фурье — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (L_p)
(L_p)
 
(не показано 17 промежуточных версий 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
  
 
== L_p ==
 
== L_p ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>. То есть
+
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, [http://slovari.yandex.ru/~%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B8/%D0%91%D0%A1%D0%AD/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D1%83%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F суммируемых] с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.  
  
<tex>L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>
+
То есть,
 +
<tex>L_p = \{ f \mid f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.
  
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos nx,\ \sin nx, ... (n = 1, 2 ...)</tex>  называют '''тригонометрической системой функций'''.  
+
|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex>  называют '''тригонометрической системой функций'''.  
 
}}
 
}}
Каждая из этих функций ограниченная, <tex> 2\pi </tex>-периодическая, следовательно все функции принадлежат <tex>L_p</tex>.
+
Каждая из этих функций ограниченная, <tex> 2\pi </tex>-периодическая, следовательно, все функции принадлежат <tex>L_p</tex>.
  
Заметим, что <tex> \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 </tex>
+
Заметим, что, из-за <tex> 2\pi </tex>-периодичности, <tex> \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 </tex>.
  
{{TODO | t = проверить следующий абзац}}
+
{{Утверждение
Также при <tex> n \ne m </tex> :
+
|statement=
 
+
При <tex> n \ne m </tex> :
<tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\  \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>
+
<tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\  \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>,
 
+
<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\  \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>.
<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\  \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>
+
|proof=
 +
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как <tex> \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) </tex>.
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition = '''Тригонометрический ряд''': <tex>\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>. Если начиная с какого-то места <tex> c_n = d_n = 0 </tex> {{---}} '''тригонометрический полином'''.
+
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:  
 +
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
 +
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
 
}}
 
}}
  
Строка 33: Строка 38:
 
\iff
 
\iff
 
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
 
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
</tex>
+
</tex>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:
 +
 
 +
<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
 +
|proof=
 +
 
 +
Формула для <tex> a_0 </tex> очевидна.
 +
 
 +
Пусть <tex> S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) </tex>.
 +
 
 +
По условию, <tex> \int\limits_{Q} | f(x) - S_n(x) | dx \rightarrow 0 </tex>. Зафиксируем некоторое натуральное <tex> p </tex>:
 +
 
 +
<tex> | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 </tex>.
 +
 
 +
Значит, <tex> \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 </tex>.
 +
 
 +
Если <tex> n > p </tex>, то <tex> \int\limits_{Q}  S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q}  a_p \cos^2 px dx = \pi a_p </tex>.
 +
 
 +
Значит, <tex> \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p </tex>.
 +
 
 +
Аналогично доказывается формула для <tex> b_p </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
 +
}}
 +
 
 +
Колмогоров построил пример суммируемой <tex> 2\pi </tex>-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные <tex> L_p </tex>-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.
 +
 
 +
Карлесон доказал, что для функций из <tex> L_2 </tex> (а такие функции автоматически <tex>\in L_1</tex>) ряд Фурье сходится почти всюду.
 +
 
 +
Если функция является <tex> 2T </tex>-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет <tex> 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex> f(x) </tex> определена и суммируема на <tex> [0; a] </tex>. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:
 +
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как четную функцию. Тогда <tex> a_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 </tex>, ряд Фурье выглядит как <tex> \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx </tex>.
 +
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как нечетную функцию. В этом случае <tex> a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx </tex>, ряд Фурье имеет вид <tex> \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx </tex>.
 +
# <tex> 2T = a </tex>, здесь присутствуют все члены ряда.
 +
 
 +
Итак, если <tex> f </tex> задана на <tex> [0; a] </tex>, то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.
 +
 
 +
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 18:54, 25 июня 2014

на главную <<>>

L_p[править]

Определение:
[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math].

То есть,

[math]L_p = \{ f \mid f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math].


Определение:
Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math] называют тригонометрической системой функций.

Каждая из этих функций ограниченная, [math] 2\pi [/math]-периодическая, следовательно, все функции принадлежат [math]L_p[/math].

Заметим, что, из-за [math] 2\pi [/math]-периодичности, [math] \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 [/math].

Утверждение:
При [math] n \ne m [/math] :

[math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math],

[math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math].
[math]\triangleright[/math]
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как [math] \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Тригонометрическим рядом называется ряд:

[math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math].

Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.


Замечание (предел в пространстве [math]L_1[/math]): если [math]f_n, f \in L_1[/math], то [math] f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n \iff \int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math].


Теорема:
Пусть тригонометрический ряд [math] \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] сходится в [math] L_1 [/math] и имеет суммой функцию [math] f [/math]. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: [math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Формула для [math] a_0 [/math] очевидна.

Пусть [math] S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) [/math].

По условию, [math] \int\limits_{Q} | f(x) - S_n(x) | dx \rightarrow 0 [/math]. Зафиксируем некоторое натуральное [math] p [/math]:

[math] | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 [/math].

Значит, [math] \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 [/math].

Если [math] n \gt p [/math], то [math] \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q} a_p \cos^2 px dx = \pi a_p [/math].

Значит, [math] \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p [/math].

Аналогично доказывается формула для [math] b_p [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть функция [math] f \in L_1 [/math]. Ряд Фурье [math] f [/math] — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.


Колмогоров построил пример суммируемой [math] 2\pi [/math]-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные [math] L_p [/math]-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.

Карлесон доказал, что для функций из [math] L_2 [/math] (а такие функции автоматически [math]\in L_1[/math]) ряд Фурье сходится почти всюду.

Если функция является [math] 2T [/math]-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет [math] 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math].

Пусть [math] f(x) [/math] определена и суммируема на [math] [0; a] [/math]. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:

  1. [math] T = a [/math], на [math] [-a; 0] [/math] продолжаем [math] f [/math] как четную функцию. Тогда [math] a_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 [/math], ряд Фурье выглядит как [math] \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx [/math].
  2. [math] T = a [/math], на [math] [-a; 0] [/math] продолжаем [math] f [/math] как нечетную функцию. В этом случае [math] a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx [/math], ряд Фурье имеет вид [math] \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx [/math].
  3. [math] 2T = a [/math], здесь присутствуют все члены ряда.

Итак, если [math] f [/math] задана на [math] [0; a] [/math], то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.

на главную <<>>