211
правок
Изменения
м
<wikitex>
Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную не на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.
До конца параграфа $ f $ непрерывна как функция двух переменных.
==Установим три простых факта ==
# $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
# Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то cуществует существует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
# $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом и по сути означает смену местами интегралов по двум переменным.
$ G(y) = \int\limits_a^b g(x, y) dx $, где $ g(x, y) = \int\limits_c^y f(x, t) dt $
Написанное равенство можно дифференциировать дифференцировать по формуле Лейбница:
$ G'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial g}{\partial y} (x, y) dx $, по теореме Барроу $ \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = f(x, y) $.
