689
правок
Изменения
м
Если Так как $ f(x, y) $ - непрерывна на прямоугольнике, то оба интеграла существуют.
Нет описания правки
==Установим три простые простых факта ==
# $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
# Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то cуществует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
# $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом. Формула и по сути означает смену местами интгралов интегралов по двум переменным.
=== Пункт первый. Непрерывность. ===
Рассмотрим $ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b (f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $:
$ \Pi = [a; b] \times [c; d] $ - компакт, f - непрерывна на нем, следовательно, равномерно непрерывна на нем, то есть $ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: |\Delta y| < \delta \Rightarrow | f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| < \varepsilon \quad \forall x \in [a; b], y \in [c; d] $
Поэтому, $ |\Delta F| \le \int\limits_a^b \varepsilon dx = (b - a)\varepsilon $ - бесконечно малая.
$ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b ( f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $
В силу продположений, предположений из условия и разности под знаком интеграла, можно применять формулу Лагранжа:
$ f(x, y + \Delta y) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) \Delta y $
По условию, $ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) $ - непрерывнана компакте, следовательно, равномерно непрерывнана нем.
Имеем $ \frac{F(y + \Delta y) - F(y)}{\Delta y} - \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx
= \int\limits_a^b \left( \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) - \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) \right) dx $
Далее, к выражениям в скобках применяем равномерную непрерывность и убеждаемся, что интеграл стремится к нулю при $ \Delta y $, стремящемся к 0, следовательно, $ \frac{\Delta F(y, \Delta y)}{\Delta y} \to \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $.
=== Пункт третий. Смена местами интегралов. ===
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $
Доказывать будем по формуле Ньютона-Лейбница.
$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx$, пусть для некоторого $G(y), \qquad quad G'(y) = F(y) $
Тогда $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) $
$ G(y) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^y f(x, t) dt $, проверим, что это первообразная F.
$ G'(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx = F(y) $ - то есть, G - одна из первообразных F.
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $, так как $ G(c) = 0 $ - , то нужная формула установлена.
</wikitex>
