Изменения

# $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом. Формула означает смену местами интгралов по двум переменным.

Рассмотрим $ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b (f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $:

Поэтому, $ |\Delta F| \le \int\limits_a^b \varepsilon dx = (b - a)\varepsilon $ - бесконечно малая.

$ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b ( f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $

Далее, к выражениям в скобках применяем равномерную непрерывность и убеждаемся, что интеграл стремится к нулю при $ \Delta y $, стремящемся к 0, следовательно, $ \frac{\Delta F(y, \Delta y)}{\Delta y} \to \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $