3622
правки
Изменения
м
→Сведение задачи о генерации оптимального префиксного кода с длиной кодового слова не более L бит к задаче о рюкзаке
Здесь будет приведен алгоритм, решающий эту задачу за время <tex> O(nL) </tex>, где <tex>L</tex> — максимальная длина кодового слова, <tex>n</tex> — размер алфавита, c помощью сведения задачи к [[Задача_о_рюкзаке | задаче о рюкзаке]].
==Пример.==Данный алгоритм бывает полезен, когда нам нужно ограничить максимальную длину кодового слова, а при использовании алгоритма Хаффмана самому редко встречающемуся символу соответствует слишком длинное кодовое слово. Например, пусть дан алфавит из <tex>5</tex> символов <tex>A=\{A,B,C, CD, DE\}</tex>, а частоты символов являются степенями двойки: <tex>P=\{1,2,4, 8, 16\}</tex>. Тогда классический код Хаффмана будет выглядеть следующим образом:
{| class="wikitable"
|}
Важно заметить следующий факт. В : в худшем случае все кодовые слова будут иметь длину <tex>L</tex> бит. Тогда мы можем закодировать <tex> 2^L </tex> символов. Таким образом, нельзя получить описанный выше код, если <tex> n > 2^L </tex>.
== Сведение задачи о генерации оптимального префиксного кода с длиной кодового слова не более L бит к задаче о рюкзаке ==
Пусть <tex>L</tex> — ограничение на длину кодового слова, а <tex>P=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{n}\}</tex> — частоты символов алфавита. Алгоритм генерации кода будет следующим:
Из последнего утверждения и шага два легко заметить, что длина кодового слова, сгенерированного приведенным алгоритмом, действительно не превысит <tex>L</tex>. Это так, потому что мы создаем ровно <tex>L</tex> предметов веса <tex>p_{i}</tex> (частота символа). А значит, если в худшем случае мы возьмем все предметы данного веса, то их количество не превысит <tex>L</tex>.
Убедимся также, что необходимую сумму (<tex>n - 1</tex>) всегда можно набрать. Зафиксируем размер алфавита равным <tex>n = 2^k</tex>. Теперь вспомним неравенство, которым связаны <tex>n</tex> и <tex>L</tex>: <tex> n \le leqslant 2^L </tex>. Возьмем минимально возможное значение <tex>L</tex> такое, что <tex>2^L = n</tex>. По условию у нас есть по <tex>n</tex> монет номинала <tex>2^{-i}</tex>, где <tex>1 \le leqslant i \le leqslant L</tex>. Попробуем посчитать суммарную стоимость имеющихся монет:
<tex dpi = "160">\frac{n}{2^1} + \frac{n}{2^2} + \dots + \frac{n}{2^L} </tex>
<tex dpi = "160">\frac{2^L}{2^1} + \frac{2^L}{2^2} + \dots + \frac{2^L}{2^L}</tex><tex> = 2^{L - 1} + 2 ^ {L - 2} + \dots + 2^{L - L} = 2^L - 1 = n - 1 </tex>
Таким образом, мы набрали необходимую сумму, используя все предметы. Но так как мы рассматривали граничный случай, при бОльших значениях <tex>L </tex> данную сумму гарантированно можно набрать.
Оптимальность же кода следует из оптимальности решения задачи о рюкзаке. Действительно, частота символа {{- --}} это вес предеметовпредметов, соответствующих ему. Значит, чем чаще символ встречается в тексте, тем реже он будет попадать в наш рюкзак (будет выгоднее брать предметы аналогичной ценности, но меньшего веса, соответствующие более редким символам), а значит, его код будет короче. Таким образом, код, сгенерированный данным алгоритмом, будет оптимальным среди кодов с длиной кодового слова не более <tex>L</tex>.
== Восстановление ответа. ==
