137
правок
Изменения
→Свойства
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>x \bot x_1, x_2...x_k</tex>. Тогда <tex> x \bot \forall </tex> ЛК линейной комбинации <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i</tex>, то есть <tex>x \bot x_i, \ (i=1..k)</tex>
|proof=
<tex> \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \overline{\left \langle x;x_i \right \rangle}=0 </tex>
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>L - </tex> пп подпространство унитарного лп линейного пространства <tex>E</tex>, тогда говорят, что <tex>x \bot L </tex>, если <tex>x \bot \forall y \in L </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Подпространство <tex>M=\{</tex> все <tex>x \in E: \ x \bot L \}</tex> называется ортогональным дополнением к <tex>L</tex> в <tex>E</tex>, обозначается <tex>M=L^ \bot </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Если в наборе векторов <tex> \{x_i\}_{i=1}^{k}</tex> и , <tex>x_i \bot x_j (i \ne j)</tex>, тогда набор<tex> \{x_i\}_{i=1}^{k} - </tex> ЛНЗ
|proof=
Предположим, что <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i=0_E \Rightarrow \alpha^1=...= \alpha_k=0</tex> (доказать).
2) <tex>i=j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle \ne 0 \Rightarrow \alpha^j=0</tex>
}}
NB: <tex>k \leqslant n =\dim E</tex>
{{Теорема
Пусть <tex>e_k=0</tex>, тогда <tex>(*): \ 0=e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1}e_{k-1}</tex>
<tex>\alpha_1 e_1=x_1, \ \alpha_2 e_2=</tex> ЛК- линейная комбинация<tex> \{x_1, x_2\} </tex> и так далее <tex>\alpha_{k-1} e_{k-1}=</tex> ЛК- линейная комбинация<tex>\{x_1, x_2...x_{k-1}\} </tex>
Тогда <tex>0_E=x_k+\sum\limits _{i=1}^{k-1} \beta_ix_i </tex>. Но <tex>\{x_1...x_k\} - </tex> ЛНЗ набор, как поднабор ЛНЗ набора, среди коэффициентов разложения есть не нулевой (у <tex>x_k</tex>), тогда приходим к противоречию, так как набор коэффициентов не тривиальный, а вектора ЛНЗ.
{{Лемма
|statement=
<tex> \forall x,y \in E </tex> в ОРТН базисе <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} \Rightarrow \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar overline{ \eta^k }</tex>
|proof=
<tex> \left \langle x;y \right \rangle=\left \langle \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i; \sum\limits_{k=1}^n \eta^k e_k \right \rangle= \sum\limits_{i,k=1}^n \xi^i \bar overline{\eta^k } \left \langle e_i;e_k \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar overline{\eta^k } </tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Если для <tex> \forall x,y \in E </tex> верно, что <tex> \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar overline{\eta^k }</tex>, то соответствующий базис <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} - </tex> ОРТН.
|proof=
Доказательство предыдущей леммы в обратную сторону, то есть получаем, что <tex> \left \langle e_i;e_j \right \rangle= \delta^delta_{ik} </tex>, тогда базис ОРТН по определению.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
