Ортогональность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 8 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
==Ортогональность в евклидовом пространстве==
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Евклидово пространство] над комплексным полем <tex> \mathbb{C} </tex> называется '''унитарным пространством'''
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Расстояние между двумя элементами унитарного пространства: <tex>dist(x;y)= \Vert x-y \Vert </tex>
 +
}}
  
=Ортогональный и ортонормированный базис=
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>x,y \in E</tex>. Говорят, что <tex>x \bot y </tex>, если <tex>\left \langle x;y \right \rangle_G=G(x,y)=0</tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>x \bot x_1, x_2...x_k</tex>. Тогда <tex> x \bot \forall </tex> линейной комбинации <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i</tex>, то есть <tex>x \bot x_i, \ (i=1..k)</tex>
 +
|proof=
 +
<tex> \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \overline{\left \langle x;x_i \right \rangle}=0 </tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>L - </tex> подпространство унитарного линейного пространства <tex>E</tex>, тогда говорят, что <tex>x \bot L </tex>, если <tex>x \bot \forall y \in L </tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Подпространство <tex>M=\{</tex> все <tex>x \in E: \ x \bot L \}</tex> называется ортогональным дополнением к <tex>L</tex> в <tex>E</tex>, обозначается <tex>M=L^ \bot </tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Если в наборе векторов <tex> \{x_i\}_{i=1}^{k}</tex>, <tex>x_i \bot x_j (i \ne j)</tex>, тогда набор<tex> \{x_i\}_{i=1}^{k} - </tex> ЛНЗ
 +
|proof=
 +
Предположим, что <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i=0_E \Rightarrow \alpha^1=...= \alpha_k=0</tex> (доказать).
 +
<tex>\left \langle  \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x_j \right \rangle = \left \langle 0_E;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0</tex>
 +
 
 +
1) <tex>i \ne j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0 </tex>
 +
 
 +
2) <tex>i=j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle \ne 0 \Rightarrow \alpha^j=0</tex>
 +
}}
 +
NB: <tex>k \leqslant n =\dim E</tex>
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Теорема Пифагора: пусть <tex>\{x_i\}_{i=1}^{k}</tex> и <tex>x_i \bot x_j (i \ne j)</tex>, тогда <tex>\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 </tex>
 +
|proof=
 +
<tex>\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} x_i;\sum\limits_{j=1}^{k} x_j \right \rangle=\sum\limits_{i,j=1}^{k} \left \langle x_i;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \left \langle x_i;x_i \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 </tex>
 +
}}
 +
 
 +
==Ортогональный и ортонормированный базис==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 13: Строка 65:
 
}}
 
}}
  
=Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)=
+
==Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Строка 45: Строка 97:
 
Пусть <tex>e_k=0</tex>, тогда <tex>(*): \ 0=e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1}e_{k-1}</tex>  
 
Пусть <tex>e_k=0</tex>, тогда <tex>(*): \ 0=e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1}e_{k-1}</tex>  
  
<tex>\alpha_1 e_1=x_1, \ \alpha_2 e_2=</tex> ЛК<tex> \{x_1, x_2\} </tex> и так далее <tex>\alpha_{k-1} e_{k-1}=</tex> ЛК<tex>\{x_1, x_2...x_{k-1}\} </tex>
+
<tex>\alpha_1 e_1=x_1, \ \alpha_2 e_2</tex> - линейная комбинация<tex> \{x_1, x_2\} </tex> и так далее <tex>\alpha_{k-1} e_{k-1}</tex> - линейная комбинация<tex>\{x_1, x_2...x_{k-1}\} </tex>
  
 
Тогда <tex>0_E=x_k+\sum\limits _{i=1}^{k-1} \beta_ix_i </tex>. Но <tex>\{x_1...x_k\} - </tex> ЛНЗ набор, как поднабор ЛНЗ набора, среди коэффициентов разложения есть не нулевой (у <tex>x_k</tex>), тогда приходим к противоречию, так как набор коэффициентов не тривиальный, а вектора ЛНЗ.
 
Тогда <tex>0_E=x_k+\sum\limits _{i=1}^{k-1} \beta_ix_i </tex>. Но <tex>\{x_1...x_k\} - </tex> ЛНЗ набор, как поднабор ЛНЗ набора, среди коэффициентов разложения есть не нулевой (у <tex>x_k</tex>), тогда приходим к противоречию, так как набор коэффициентов не тривиальный, а вектора ЛНЗ.
Строка 61: Строка 113:
 
}}
 
}}
  
=Свойства=
+
==Свойства==
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Строка 84: Строка 136:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
<tex> \forall x,y \in E </tex> в ОРТН базисе <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} \Rightarrow \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i  \bar \eta^k </tex>
+
<tex> \forall x,y \in E </tex> в ОРТН базисе <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} \Rightarrow \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i  \overline{ \eta^k }</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex> \left \langle x;y \right \rangle=\left \langle \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i; \sum\limits_{k=1}^n \eta^k e_k \right \rangle= \sum\limits_{i,k=1}^n \xi^i  \bar \eta^k \left \langle e_i;e_k \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i  \bar \eta^k </tex>
+
<tex> \left \langle x;y \right \rangle=\left \langle \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i; \sum\limits_{k=1}^n \eta^k e_k \right \rangle= \sum\limits_{i,k=1}^n \xi^i  \overline{\eta^k} \left \langle e_i;e_k \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i  \overline{\eta^k} </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 92: Строка 144:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Если для <tex> \forall x,y \in E </tex> верно, что <tex> \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i  \bar \eta^k </tex>, то соответствующий базис <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} - </tex> ОРТН.
+
Если для <tex> \forall x,y \in E </tex> верно, что <tex> \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i  \overline{\eta^k}</tex>, то соответствующий базис <tex>\{e_i\}_{i=1}^{n} - </tex> ОРТН.
 
|proof=
 
|proof=
Доказательство предыдущей леммы в обратную сторону, то есть получаем, что <tex> \left \langle e_i;e_j \right \rangle= \delta^{ik} </tex>, тогда базис ОРТН по определению.
+
Доказательство предыдущей леммы в обратную сторону, то есть получаем, что <tex> \left \langle e_i;e_j \right \rangle= \delta_{ik} </tex>, тогда базис ОРТН по определению.
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 19:37, 4 сентября 2022

Ортогональность в евклидовом пространстве

Определение:
Евклидово пространство над комплексным полем [math] \mathbb{C} [/math] называется унитарным пространством


Определение:
Расстояние между двумя элементами унитарного пространства: [math]dist(x;y)= \Vert x-y \Vert [/math]


Определение:
Пусть [math]x,y \in E[/math]. Говорят, что [math]x \bot y [/math], если [math]\left \langle x;y \right \rangle_G=G(x,y)=0[/math]


Лемма:
Пусть [math]x \bot x_1, x_2...x_k[/math]. Тогда [math] x \bot \forall [/math] линейной комбинации [math] \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i[/math], то есть [math]x \bot x_i, \ (i=1..k)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math] \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \overline{\left \langle x;x_i \right \rangle}=0 [/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть [math]L - [/math] подпространство унитарного линейного пространства [math]E[/math], тогда говорят, что [math]x \bot L [/math], если [math]x \bot \forall y \in L [/math]


Определение:
Подпространство [math]M=\{[/math] все [math]x \in E: \ x \bot L \}[/math] называется ортогональным дополнением к [math]L[/math] в [math]E[/math], обозначается [math]M=L^ \bot [/math]


Теорема:
Если в наборе векторов [math] \{x_i\}_{i=1}^{k}[/math], [math]x_i \bot x_j (i \ne j)[/math], тогда набор[math] \{x_i\}_{i=1}^{k} - [/math] ЛНЗ
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предположим, что [math] \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i=0_E \Rightarrow \alpha^1=...= \alpha_k=0[/math] (доказать). [math]\left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x_j \right \rangle = \left \langle 0_E;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0[/math]

1) [math]i \ne j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle=0 [/math]

2) [math]i=j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle \ne 0 \Rightarrow \alpha^j=0[/math]
[math]\triangleleft[/math]

NB: [math]k \leqslant n =\dim E[/math]

Теорема:
Теорема Пифагора: пусть [math]\{x_i\}_{i=1}^{k}[/math] и [math]x_i \bot x_j (i \ne j)[/math], тогда [math]\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\Vert \sum\limits_{i=1}^{k} x_i \Vert^2= \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} x_i;\sum\limits_{j=1}^{k} x_j \right \rangle=\sum\limits_{i,j=1}^{k} \left \langle x_i;x_j \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \left \langle x_i;x_i \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \Vert x_i \Vert^2 [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Ортогональный и ортонормированный базис

Определение:
Пусть [math]E[/math] - унитарное пространство. Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортогональным, если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=0[/math], где [math](i \ne j)[/math].


Определение:
Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортонормированным (ОРТН), если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}[/math], то есть:

1) [math]e_i \bot e_j[/math], для [math](i \ne j)[/math].

2) [math] \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) [/math]


Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)

Утверждение:
Пусть [math]\{x_i\}_{i=1}^{n} - [/math] ЛНЗ [math](x_i \ne 0)[/math]

1) [math]e_1=x_1[/math]

2) [math]e_2=x_2 + \alpha_1 e_1[/math]

и так далее

k) [math]e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1} e_{k-1}[/math] [math](*)[/math]
[math]\triangleright[/math]

На 2-ом шаге надо, чтобы [math]e_1 \bot e_2[/math], то есть

[math]0= \left \langle e_2;e_1 \right \rangle = \left \langle x_2;e_1 \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_1 \right \rangle [/math] [math] \Rightarrow \alpha_1 = \frac{- \left \langle x_2;e_1 \right \rangle }{ \left \langle e_1;e_1 \right \rangle } [/math]

На k-ом шаге уже есть [math]e_1, e_2...e_{k-1}[/math] [math]-[/math] попарно [math] \bot \ (k \leqslant m)[/math]. Надо, чтобы [math]e_k \bot e_i \ (i=1..k-1)[/math]

Рассмотрим [math] \left \langle (*);e_i \right \rangle [/math]

Необходимо, чтобы [math]0=\left \langle e_k;e_i \right \rangle = \left \langle x_k;e_i \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_i \right \rangle +...+ \alpha_i \left \langle e_i;e_i \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_i \right \rangle [/math], где [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle =0, \ i \ne j [/math]

Тогда [math]\alpha_i = \frac{- \left \langle x_k;e_i \right \rangle }{ \left \langle e_i;e_i \right \rangle }[/math]

Лемма:
Данный процесс не оборвется, то есть все [math]e_i \ne 0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем методом от противного. Пусть [math]e_k=0[/math], тогда [math](*): \ 0=e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1}e_{k-1}[/math]

[math]\alpha_1 e_1=x_1, \ \alpha_2 e_2[/math] - линейная комбинация[math] \{x_1, x_2\} [/math] и так далее [math]\alpha_{k-1} e_{k-1}[/math] - линейная комбинация[math]\{x_1, x_2...x_{k-1}\} [/math]

Тогда [math]0_E=x_k+\sum\limits _{i=1}^{k-1} \beta_ix_i [/math]. Но [math]\{x_1...x_k\} - [/math] ЛНЗ набор, как поднабор ЛНЗ набора, среди коэффициентов разложения есть не нулевой (у [math]x_k[/math]), тогда приходим к противоречию, так как набор коэффициентов не тривиальный, а вектора ЛНЗ.

Значит, предположение не верно и [math]e_k \ne 0[/math], то есть процесс ортогонализации не оборвется пока набор будет ЛНЗ.
[math]\triangleleft[/math]
[math]\{x_i\}_{i=1}^{n} \rightarrow \{e_i\}_{i=1}^{n}[/math], таким образом получаем ортогональный набор векторов.
[math]\triangleleft[/math]


Лемма:
[math]\{x_i\}_{i=1}^{k-1} - [/math] ЛНЗ, [math]\{x_i\}_{i=1}^{k} - [/math] ЛЗ, тогда [math]e_k=0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Доказательство очевидно из леммы, доказанной выше.
[math]\triangleleft[/math]

Свойства

Лемма:
[math] \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math] \left \langle (*);e_k \right \rangle [/math]

[math] \left \langle e_k;e_k \right \rangle = \left \langle x_k;e_k \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_k \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_k \right \rangle [/math], но [math] \left \langle e_i;e_k \right \rangle=0 \ (i=1..k-1)[/math]

[math] \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2= \left \langle x_k;e_k \right \rangle [/math] по неравенству Шварца [math] \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2 \leqslant \Vert x_k \Vert \cdot \Vert e_k \Vert [/math], так как [math]\Vert e_k \Vert \ne 0 \Rightarrow \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert [/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
В любом конечномерном унитарном пространстве существует ортогональный и даже ортонормированный базис.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Ортогональный базис получается процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Из ортогонального по определению легко получить ортонормированный.
[math]\triangleleft[/math]


Лемма:
[math] \forall x,y \in E [/math] в ОРТН базисе [math]\{e_i\}_{i=1}^{n} \Rightarrow \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{ \eta^k }[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math] \left \langle x;y \right \rangle=\left \langle \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i; \sum\limits_{k=1}^n \eta^k e_k \right \rangle= \sum\limits_{i,k=1}^n \xi^i \overline{\eta^k} \left \langle e_i;e_k \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{\eta^k} [/math]
[math]\triangleleft[/math]


Лемма:
Если для [math] \forall x,y \in E [/math] верно, что [math] \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \overline{\eta^k}[/math], то соответствующий базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n} - [/math] ОРТН.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Доказательство предыдущей леммы в обратную сторону, то есть получаем, что [math] \left \langle e_i;e_j \right \rangle= \delta_{ik} [/math], тогда базис ОРТН по определению.
[math]\triangleleft[/math]