262
правки
Изменения
Новая страница: «//статья в разработке// {{Определение |definition= Пусть <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ОРТН-система векторов ...»
//статья в разработке//
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ОРТН-система векторов
Тогда числа <tex>\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle</tex> называются коэффициентами Фурье вектора <tex>x</tex> относительно системы <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex>
}}
NB: <tex>\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)</tex>
{{Лемма
|statement=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum_{\text{i=1}}^{k}{|\varphi_{i}|}^2</tex>
|proof=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle =
\left\langle\sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum_{\text{j=1}}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle =
\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi}\left\langle e_i, e_j\right\rangle</tex>;
Т.к. у нас ОРТН-базис, то <tex>\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}</tex>, поэтому одно суммирование можно убрать:
<tex>\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum_{\text{i=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi} = \sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi|}^2</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ОРТН-система векторов
Тогда числа <tex>\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle</tex> называются коэффициентами Фурье вектора <tex>x</tex> относительно системы <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex>
}}
NB: <tex>\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)</tex>
{{Лемма
|statement=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum_{\text{i=1}}^{k}{|\varphi_{i}|}^2</tex>
|proof=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle =
\left\langle\sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum_{\text{j=1}}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle =
\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi}\left\langle e_i, e_j\right\rangle</tex>;
Т.к. у нас ОРТН-базис, то <tex>\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}</tex>, поэтому одно суммирование можно убрать:
<tex>\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum_{\text{i=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi} = \sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi|}^2</tex>
}}
