262
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Тогда числа <tex>\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle</tex> называются коэффициентами Фурье вектора <tex>x</tex> относительно системы <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex>
}}
NB: <tex>\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)</tex>
==Неравенство Бесселя==
{{Лемма
|statement=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k}{|\varphi_{i}|}^2</tex>
|proof=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle =
\left\langle\sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum_{sum\textlimits_{j=1}}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle = \sum_{sum\textlimits_{i,j=1}}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle</tex>;
Т.к. у нас ОРТН-базис, то <tex>\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}</tex>, поэтому одно суммирование можно убрать:
<tex>\sum_{sum\textlimits_{i,j=1}}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j} = \sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>
}}
{{Теорема
|about = неравенство Бесселя
|statement = <tex>\Vert x\Vert^2 \ge \sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>
|proof= Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы
}}
{{Теорема
|about= равенство Парсеваля
|statement= <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2 \Longleftrightarrow x\in L</tex>
|proof= Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы
}}
{{Теорема
|statement=
Для того, чтобы ОРТН-система векторов <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> могла бы быть полной в евклидовом пространстве <tex>E</tex>, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля: <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>, где <tex>n=\dim E</tex>
|proof=
Достаточность: пусть <tex>n\ne\dim E</tex>, тогда т.к. <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ОРТН-система, то набор <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ЛНЗ(по определению ортонормированности), а значит он может быть полным, только если <tex>n=\dim L</tex>
Необходимость: полностью следует из равенства Парсеваля.
}}
