//статья в разработке//
| Определение: |
| Пусть [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math] - ОРТН-система векторов Тогда числа [math]\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle[/math] называются коэффициентами Фурье вектора [math]x[/math] относительно системы [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math] |
NB: [math]\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)[/math]
| Лемма: |
[math]{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum_{\text{i=1}}^{k}{|\varphi_{i}|}^2[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle = \left\langle\sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum_{\text{j=1}}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle = \sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi}\left\langle e_i, e_j\right\rangle[/math]; Т.к. у нас ОРТН-базис, то [math]\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}[/math], поэтому одно суммирование можно убрать: [math]\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum_{\text{i=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi} = \sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi|}^2[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
