3622
правки
Изменения
объединён с конспект из ТФЯ окончательно
{{Определение
|definition =
'''Пустая цепочкаДлина цепочки''' (англ. ''empty stringlength'') {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символачисло символов в цепочке. Эту цепочку, обозначаемую Длину некоторой цепочки <tex> \varepsilon w</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.
}}
{{Определение
|definition =
}}
{{Определение
|definition =
<tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> {{---}} множество всех цепочек длины <tex>k</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
}}
{{Определение
|id = defconcat
|definition =
Пусть <tex>\alpha,\ \beta \in \Sigma^* = </tex>. Тогда <tex> \alpha \bigcup cdot \limits _{k=0}^beta </tex> или <tex> \infty alpha \Sigma^kbeta </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> \alpha </tex> — множество всех цепочек над алфавитом и <tex>\Sigmabeta </tex>.
}}
{{Определение
|definition =
'''ЯзыкПустая цепочка''' (англ. ''languageempty string'') над алфавитом {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha \in \Sigma^k</tex> верно <tex> : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.}} Множество строк с операцией ''конкатенации'' и нейтральным элементом ''пустой строкой'' образует [[Моноид|свободный моноид]]. ==Отношения между строками== {{Определение|id=prefix|definition='''Префикс''' (англ. ''prefix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \alpha \gamma</tex>. }} Пусть <tex>\beta = \underline{abr}acadabra</tex>, тогда <tex>\alpha = abr</tex> {{---}} некоторое подмножество префикс <tex>\Sigmabeta</tex>. {{Определение|id=suffix|definition='''Суффикс''' (англ. ''suffix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha </tex>. }} Пусть <tex>\beta = abracada\underline{bra}</tex>, тогда <tex>\alpha = bra</tex> {{---}} суффикс <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=border|definition='''Бордер''' (англ. ''circumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta = \alpha \mu \alpha</tex>.}} Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> {{---}} бордер <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=ind|definition=<tex>\alpha[i]</tex> {{---}} символ строки <tex>\alpha</tex>, находящийся на <tex>i</tex>-ой позиции.}} Пусть <tex>\beta = cacao</tex>, тогда <tex>\beta[1] = c, \beta[4] = a </tex>. {{Определение|id=period|definition='''Период''' (англ. ''period'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>. }} Пусть <tex>\alpha = acaacaa</tex>, тогда <tex>p = 3</tex> {{---}} период строки <tex>\alpha = acaacaa</tex>. {{Утверждение|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \rfloor</tex>. Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^*{\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.}} {{Определение|id=hardperiod|definition=Строка <tex>\alpha \neq \varepsilon</tex> c периодом <tex>p \neq |\alpha|</tex>, называется '''сильнопериодической''', если <tex>|\alpha| \bmod p = 0</tex>. Иногда такие языки называют }} Строка <tex>\alpha = acaacaaca</tex> является сильнопериодической с периодом <tex>p = 3</tex>. {{Определение|id=substring|definition='''формальнымиПодстрока''' (англ. ''formalsubstring''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле{{---}} некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.
}}
{{Определение
|definition =
}}
== Формальные языки =={{Определение|id = deflanguage|definition ='''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.}}Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.=== Операции над языками ===
Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
#Теоретико-множественные операции:
=== Примеры ===
* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> — {{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> — {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> — {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))</tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex>
* циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.
== См. также ==
* [[Период и бордер, их связь]]
* [[Слово Фибоначчи]]
* [[Слово Туэ-Морса]]
* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]
== Ссылки Источники информации ==
* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]
* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]
* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]
* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]
* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.
* Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45.
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
