Изменения

'''АлфавитомДлина цепочки''' (англ. ''string length'') {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>\sumw</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex> называется конечное непустое множество символов.

<tex>\alphaSigma^k</tex> называется '''префиксом''' {{---}} множество цепочек длины <tex>\betak</tex>, если над алфавитом <tex>\beta = \alpha \gammaSigma</tex>. Аналогично определяется '''суффикс''' строки.

<tex>\alpha</tex> называется '''бордером''' <tex>Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \betaSigma^k</tex>, если {{---}} множество всех цепочек над алфавитом <tex>\alphaSigma</tex> одновременно является и суффиксом и префиксом.

Строка Пусть <tex>\alpha,\ \beta \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex> \alpha \cdot \beta </tex> или <tex> \alpha \beta </tex> называется обозначает их '''периодическойконкатенацию'''(англ. ''concatenation''), если то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex>\alpha = \beta^k</tex>, для некоторого и <tex>k > 1\beta </tex>.

Строка '''Пустая цепочка''' (англ. ''empty string'') {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha\in \Sigma^k</tex> является верно <tex> : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.}} Множество строк с операцией ''конкатенации'' и нейтральным элементом ''пустой строкой'' образует [[Моноид|свободный моноид]]. ==Отношения между строками== {{Определение|id=prefix|definition='''Префикс'''(англ. 'подстрокой'prefix'' ) строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \alpha \gamma</tex>. }} Пусть <tex>\beta= \underline{abr}acadabra</tex>, если тогда <tex>\alpha = abr</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=suffix|definition='''Суффикс''' (англ. ''suffix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha </tex>. }} Пусть <tex>\beta = abracada\underline{bra}</tex>, тогда <tex>\alpha = bra</tex> {{---}} суффикс <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=border|definition='''Бордер''' (англ. ''circumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha = \deltaalpha \eta</tex>.}} Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> {{---}} бордер <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=ind|definition=<tex>\alpha[i]</tex> {{---}} символ строки <tex>\alpha</tex>, находящийся на <tex>i</tex>-ой позиции.}} Пусть <tex>\beta = cacao</tex>, тогда <tex>\beta[1] = c, \beta[4] = a </tex>. {{Определение|id=period|definition='''Период''' (англ. ''period'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>. }} Пусть <tex>\alpha = acaacaa</tex>, тогда <tex>p = 3</tex> {{---}} период строки <tex>\alpha = acaacaa</tex>.  {{Утверждение|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>.  Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.}}  {{Определение|id=hardperiod|definition=Строка <tex>\alpha \neq \varepsilon</tex> c периодом <tex>p \neq |\alpha|</tex>, называется '''сильнопериодической''', если <tex>|\alpha| \bmod p = 0</tex>.}} Строка <tex>\alpha = acaacaaca</tex> является сильнопериодической с периодом <tex>p = 3</tex>. {{Определение|id=substring|definition='''Подстрока''' (англ. ''substring'') {{---}} некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.

Строка <tex>\alpha \le \beta</tex>, если:* '''лексикографически меньше''' строки <tex>\alphabeta</tex> префикс (<tex>\alpha < \beta</tex>), если* 1. <tex>\gammaalpha</tex> общий {{---}} префикс <tex>\alphabeta</tex> и  ''или'' 2. <tex>\mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) </tex>, и <tex>\alpha = [k] < \gamma c \deltabeta[k] </tex>, при этом <tex>\beta mathcal \forall j < k : \alpha_j = \gamma d \xi</tex> и <tex>c < dbeta_j </tex>

'''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>r\Sigma</tex> называется {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными'''(англ. 'периодом'formal'' ), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.}}Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\alphaSigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\forall i Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.=== Операции над языками ===Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.#Теоретико-множественные операции:#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.# Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.# Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1 }, y \in \Sigma^*</tex>.# Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}\{\ldots n varepsilon\}, k = 0\\LL^{k- r1}, k > 0.\end{cases}</tex> # Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\alpha [limits_{i] = 0}^{\alphainfty}L^i</tex>.# [[i + r#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]] === Примеры ===* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex>{{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку. * Если <tex>n = krL_p</tex>— язык десятичных представлений всех простых чисел, где то язык <tex>k (L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ </tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.* <tex> \{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>. == Гомоморфизм языков =={{Определение|definition=Пусть даны два алфавита <tex>\Sigma_1, то строка называется \Sigma_2</tex>. '''сильнопериодическойГомоморфизмом'''.называется такое отображение <tex> \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, что:* <tex>\varphi(\varepsilon) = \varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку* <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)</tex>, то есть сохраняет конкатенацию

{{Определение|definition='''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^* </tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>. <br>Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>}} {{Определение|definition='''Прообразом языка''' <tex>M \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>. <br>Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>}} === Примеры === * тривиальные гомоморфизмы** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>* '''гомоморфизм цепочек''' {{---}} функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения <tex> h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* </tex> гомоморфизмом цепочек будет функция <tex> \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* </tex>, действующая от каждого символа строки из языка следующим образом <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex> * циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.== См. также ==* [[Период и бордер, их связь]]* [[Слово Фибоначчи]]* [[Слово Туэ-Морса]]* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]] == Источники информации ==* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.* Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45. [[Категория:Алгоритмы и структуры данныхТеория формальных языков]][[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]]