Изменения

'''АлфавитомАлфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\sumSigma</tex> называется конечное непустое .}}  Наиболее часто используются следующие алфавиты:* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.* <tex>\Sigma=\{a, b, \dots,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} алфавит цифр.* <tex>\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} </tex> {{---}} алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.* Нотные знаки {{Определение|id=string|definition ='''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символовнекоторого алфавита.

'''ЦепочкойДлина цепочки''' (словом, строкойангл. ''string length'') конечной длины обозначим {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>\sum^p : \sum^p = \bigcup\limits_{n \in \mathbb N} \sum^n|w|</tex>.

'''Конкатенацией''' строк <tex>\alpha = \sumSigma^k</tex> и {{---}} множество цепочек длины <tex>\beta = \sum^mk</tex> является строка над алфавитом <tex>\alpha\beta = \sum^{k+m}Sigma</tex>. Конкатенация является ассоциативной операцией.

'''Нейтральным элементом''' <tex>\varepsilon Sigma^* = \in bigcup \sum^limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> называется элемент, для которого верно {{---}} множество всех цепочек над алфавитом <tex>\alpha\varepsilon=\epsilon\alpha=\alphaSigma</tex>.

{{Определение|id =defconcat|definition = Отношения между строками ==Пусть <tex>\alpha,\ \beta \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex> \alpha \cdot \beta </tex> или <tex> \alpha \beta </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>.}}

'''Пустая цепочка''' (англ. ''empty string'') {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha\in \Sigma^k</tex> называется верно <tex> : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.}} Множество строк с операцией ''конкатенации'' и нейтральным элементом ''пустой строкой'' образует [[Моноид|свободный моноид]]. ==Отношения между строками== {{Определение|id=prefix|definition='''Префикс'''(англ. 'префиксом'prefix'' ) строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta= \alpha \gamma</tex>. }} Пусть <tex>\beta = \underline{abr}acadabra</tex>, если тогда <tex>\alpha = abr</tex> {{---}} префикс <tex>\beta </tex>. {{Определение|id= suffix|definition='''Суффикс''' (англ. ''suffix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma\alpha </tex>. }} Пусть <tex>\beta = abracada\underline{bra}</tex>, тогда <tex>\alpha = bra</tex> {{---}} суффикс <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=border|definition='''Бордер''' (англ. Аналогично определяется ''circumfix''суффикс) строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta</tex>.}} Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> {{---}} бордер <tex>\beta</tex>. {{Определение|id=ind|definition=<tex>\alpha[i]</tex> {{---}} символ строки <tex>\alpha</tex>, находящийся на <tex>i</tex>-ой позиции.}} Пусть <tex>\beta = cacao</tex>, тогда <tex>\beta[1] = c, \beta[4] = a </tex>. {{Определение|id=period|definition='''Период''' (англ. ''period'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>. }} Пусть <tex>\alpha = acaacaa</tex>, тогда <tex>p = 3</tex> {{---}} период строки <tex>\alpha = acaacaa</tex>.  {{Утверждение|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>.  Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.}}  {{Определение|id=hardperiod|definition=Строка <tex>\alpha \neq \varepsilon</tex> c периодом <tex>p \neq |\alpha|</tex>, называется '''сильнопериодической''', если <tex>|\alpha| \bmod p = 0</tex>.}} Строка <tex>\alpha = acaacaaca</tex> является сильнопериодической с периодом <tex>p = 3</tex>. {{Определение|id=substring|definition='''Подстрока''' (англ. ''substring'' ) {{---}} некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.

Пусть <tex>\beta = abracadabraabr\underline{aca}dabra</tex>, тогда*если <tex>\alpha = abrac</tex>, то <tex>\alphaaca</tex> является префиксом {{---}} подстрока строки <tex>\beta</tex>*если <tex>\alpha = adabra</tex>, то суффиксом.

|id=repetition|definition =<tex>\alpha</tex> называется '''бордеромТандемным повтором''' (англ. ''repetition'' ) называется непустая строка вида <texmath>\beta</tex>, если <tex>alpha\alpha</texmath> одновременно является и суффиксом и префиксом.

Пусть {{Определение|id=palindrome|definition='''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка вида <tex>\alpha\overline{\alpha}</tex> или <tex>\beta = abracadabraalpha c\overline{\alpha}</tex>, тогда где <tex>\overline{\alpha = abra}</tex> будет бордером {{---}} развернутая строка <tex>\betaalpha</tex>, <tex>c</tex>{{---}} любой символ.}}

Строка <tex>\alpha</tex> называется '''периодическойлексикографически меньше'''строки <tex>\beta</tex> (<tex>\alpha < \beta</tex>), если 1. <tex>\alpha</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex> ''или'' 2. <tex> \mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) </tex> и <tex>\alpha = [k] < \beta^[k] </tex>, для некоторого при этом <tex>\mathcal \forall j < k > 1: \alpha_j = \beta_j </tex>.

<tex>r</tex> называется '''периодомЯзык''' (англ. ''language'' ) над алфавитом <tex>\alphaSigma</tex>, если <tex>\forall i = 1 \ldots n {{--- r</tex> }} некоторое подмножество <tex>\alpha [i] = \alpha[i + r]Sigma^*</tex>. Если <tex>n = kr</tex>, где <tex>k > 1</tex>, то строка называется Иногда такие языки называют '''формальными'''(англ. 'сильнопериодической'formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.

Строка === Примеры ===* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\alpha = abraabraabra}^*)</tex> является сильнопериодической {{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex>{{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.* <tex>(\{0\} \cup \{1\beta })^* = abra\{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2, k = 3, r 4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ </tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = 4\{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>).

|definition =Строка Пусть даны два алфавита <tex>\alphaSigma_1, \Sigma_2</tex> является . '''подстрокойГомоморфизмом''' называется такое отображение <tex>\betavarphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, если что:* <tex>\beta varphi(\varepsilon) = \gamma varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку* <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \alpha varphi(w_1)\deltavarphi(w_2)</tex>., то есть сохраняет конкатенацию

Строка {{Определение|definition='''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^* </tex> при гомоморфизме <tex>\alpha = acavarphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> является подстрокой (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \varphi(L) \overset{\beta underset{\mathrm{def}}{}}{= abracadabra} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>.<br>Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>}}

|definition =Строка '''Прообразом языка''' <tex>M \alpha subset \le \betaSigma_2^*</tex>, если:* при гомоморфизме <tex>\alphavarphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> префикс (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \betavarphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>* . <texbr>\gamma</tex> общий префикс Заметим, что <tex>\alphavarphi</tex> и будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\beta</tex>langle L, <tex>\alpha = cdot, \gamma c varepsilon \deltarangle</tex>, и <tex>\beta = langle M, \cdot, \gamma d varepsilon \xi</tex> и <tex>c < drangle</tex>

=== Примеры === * тривиальные гомоморфизмы** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>* '''гомоморфизм цепочек''' {{---}} функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения <tex> h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* </tex> гомоморфизмом цепочек будет функция <tex> \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* </tex>, действующая от каждого символа строки из языка следующим образом <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex> * циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.== См. также ==* [[Период и бордер, их связь]]* [[Слово Фибоначчи]]* [[Слово Туэ-Морса]]* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]] == Источники информации ==* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.* Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45. [[Категория:Алгоритмы и структуры данныхТеория формальных языков]][[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]]